POJ 3358 Period of an Infinite Binary Expansion <<欧拉定理

题意

求一个分数在二进制表达下的最短循环节和循环开始的地方。

思路

我们先把分数转换成最简，只要p和q同除gcd(p,q)即可。

然后众所周知，把一个小数转换成二进制的方法是把他不断乘2，然后取整数部分，组成小数。

在循环开始时，我们可以得到这样一个式子：$p imes2^iequiv p imes2^j(mod q)$

本题求的最小循环节即是j-i的最小值

我们将上式移项可得：$p imes(2^i-2^j)equiv 0(mod q)quad (jgeq i)$

即 $p imes2^i imes(1-2^{j-i})equiv 0(mod q)quad (jgeq i)$

因为p，q在约分后互质，所以p就可以约掉，我们就得到这个式子：

$2^i imes(1-2^{j-i})equiv 0(mod q)quad (jgeq i)$

观察这个式子，显然就发现，q的因子中有2，把这些因子给约掉，使得i=0，那么就是我们循环开始的地方了

此处我们称约完2后的q为q'

然后就有这个式子：$1-2^{j}equiv 0(mod q{}')quad $

然后进行最后一次移项：$2^{j}equiv 1(mod q{}')quad $

这就是我们非常熟悉的欧拉定理了，此处我们回顾一下欧拉定理：$a^{varphi(m)}equiv 1(mod m)quad gcd(a,m)=1$

在本题中，q'和2已经必定互质，所以必定存在循环节啦

然后循环节的长度就是$varphi(q{}')$的因子了（此处要注意，虽然$varphi(q{}')$使得上式成立，但并不是最小的）

然后我们暴力找出因子然后验证上式即可。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long phi(long long n)
{
    long long ret=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        ret=ret/n*(n-1);
    return ret;
}
long long qucik_pow(long long n,long long p,int mod)
{
    long long ret=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)
            ret=ret*n%mod;
        n=n*n%mod;
        p>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    long long p,q;
    int kas=0;
    while(~scanf("%lld/%lld",&p,&q))
    {
        long long gcd=__gcd(p,q);
        p/=gcd;
        q/=gcd;
        long long cnt=0,ans=0;
        while(q%2==0)
            q/=2,cnt++;
        long long limit=phi(q);
        for(long long i=1;i*i<=limit;i++)
        {
            if(limit%i==0&&qucik_pow(2,i,q)==1)
            {
                ans=i;break;
            }
            if(limit%i==0&&qucik_pow(2,limit/i,q)==1)
                ans=limit/i;
        }
        printf("Case #%d: %lld,%lld
",++kas,cnt+1,ans);
    }
    return 0;
}