以下所有题目来自科学出版社 许天周的《应用泛函分析》。
1. 设$1 le p le q le +infty$，证明$l^p subset l^q$。
证明：$forall x=(x_1,x_2,ldots) in l^p$，$forall varepsilon >0$，恒存在自然数N，使得$sum_{k=N}^{+infty}{||x_k||}^p<varepsilon^p$，
那么可得
${||x_k||}^p<varepsilon^p Rightarrow {||x_k||}<varepsilon，p ge 1$，
进而
$sum_{k=N}^{+infty}{||x_k||}^q le varepsilon^{q-p}sum_{k=N}^{+infty}{||x_k||}^p< + infty$
所以$x in l^q$
2. 设[a,b]是有界闭区间，证明$L^2([a,b]) subset L^1([a,b])$。
证明：$forall x in L^2([a,b]) $，有$[int_a^b|f(t)|^2dt]^{frac{1}{2}}<+infty$，那么
$int_a^b|f|dt le [int_a^b|f(t)|^2dt]^{frac{1}{2}}[int_a^b 1 dt]^{frac{1}{2}} < +infty$
因此，$ x in L^1([a,b]) $
3. 设$(X,d)$是一个距离空间，中心在$x_0$，半径为r的开球定义为
$B(x_0,r)={ x in X: d(x,x_0) < r }$
集合$A subset X$是开集是指对于任意的$x_0 in A$，恒存在以$x_0$为中心的开球包含在A中。
（1）证明开球是开集；
（2）开集全体构成的集合是X上的一个拓扑。
证明：
（1）对于任意开球$B(x_0,r)={ x in X: d(x,x_0) < r }$，存在$B(x_0,r/2) subset B(x_0,r)$，所以开球是开集。
（2）显然，开集全体构成的集合满足拓扑的定义。
4. 证明$d(x,y)=|arctanx-arctany|$是R上的距离。
证明：(1)非负性：$d(x,y)=|arctanx-arctany| ge 0$，$d(x,y)=|arctanx-arctany|=0 Leftrightarrow x=y $ 因为$arctanx$是一个单调函数；
(2)交换性：显然$d(x,y)=d(y,x)$；
(3)三角不等式：$forall x,y,z in R$,
$d(x,y)=|arctanx-arctany|=|arctanx-arctanz+arctanz-arctany| le |arctanx-arctanz|+|arctanz-arctany|=d(x,z)+d(y,z)$
5. 设$(X,d)$是距离空间，对于任意的$x in X$，定义$f(x)=inf_{y in A}d(x,y)$，证明$f(x)$是连续函数。
证明：欲证$f(x)$是连续函数，只需证明$|f(x)-f(x_0)|<d(x,x_0)$。
对于任意的$x,x_0,y in X$，由三角不等式，有$d(x,y)<d(x,x_0)+d(x_0,y)$，进一步有
$inf_{y in A}d(x,y)<d(x,x_0)+inf_{y in A}d(x_0,y)$
同理有，
$inf_{y in A}d(x_0,y)<d(x,x_0)+inf_{y in A}d(x,y)$，
那么
$|f(x)-f(x_0)|<d(x,x_0)$。
6. 设$A,B$为距离空间$(X,d)$中的两个不相交的闭集。试证明存在X上的连续函数$f(x)$是的当$x in A$时，$f(x)=0$;当$x in B$时，$f(x)=1$。
解： $f(x)=frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$
7. 设$X,Y$都是距离空间，A在X中稠密，$f:X o Y$是连续映射，证明$f(A)$在$f(X)$中稠密。
证明：$forall y in Y$，存在$x in X$，是的$f(x)=y$。A在X中稠密，所以存在点列${x_n } in A$，使得$x_n o x$，由于$f$是连续映射，所以$f(x_n) o f(x),n o infty$
所以$f(A)$在$f(X)$中稠密
8. 设$c:={ x= (x_1,x_2,ldots): x_i in F, lim_{k o + infty}x_k存在}$，在c上定义如下距离
$d_{infty}(x,y)=sup_k|x_k-y_k|$
证明：c是完备的距离空间。
证明： 设$lim_{k o + infty}x_k=x$，基本点列${x_n}$，那么
$d_{infty}(x_m,x)<varepsilon/2,exists n>N$
由距离空间的三角不等式，有
$d_{infty}(x_m,y_n) le d_{infty}(x_m,x)+d_{infty}(x_n,x)<varepsilon$
证毕。
9. 设$X$是一个全有界的距离空间，试证明对于每一个无限子集$Y subset X$都有一个直径小于给定的$varepsilon >0$的无线子集$Y_0$。
证明：因为$X$是一个全有界的距离空间，那么$X$必存在$varepsilon/2$网$M={x_1x,x_2,ldots,x_n}$，所以$Y$在这n个球中。
由于$Y$是无限集，那么n个开球中一定有一个球包含$Y$的无限子集。(抽屉定理)
10. 如果距离空间$X$是紧的，证明$X$是完备的，试说明完备的空间不一定紧。
证明：设${x_n }$是$X$中的一个柯西列。因为距离空间$X$是紧的，所以存在子列${x_{n_k} }$收敛，即$k o +infty,x_{n_k} o x,x in X$。
假设$varepsilon >0$，根据柯西列和紧性，有
$d(x_n,x_{n_k})<varepsilon/2,d(x,x_{n_k})<varepsilon/2$
那么，有
$d(x_n,x) le d(x_n,x_{n_k})+d(x,x_{n_k})<varepsilon$
又因为$x in X$，所以$X$是完备的。
完备的空间不一定紧，例如完备空间$R$，无穷序列${1,2,3,ldots}$没有收敛子列。证毕。
11. 举例说明全有界集不一定是列紧集。
证明：先说明一下定义，全有界集是指存在有限子集构成的$varepsilon$网。列紧集是指集合中的任何序列都有收敛子列，并且收敛点在集合内。
因为我们知道列紧=全有界+完备。所以我们可以找一个收敛点不在集合中例子。
例如，$A=(0,1) subset X=(0,2)$，$d(x,y)=|x-y|$。$A$是全有界，因为$forall varepsilon>0$，都能找到有限长的单调递增的序列${x_n}，sup limits_n{d(x_n,x_{n+1})}<varepsilon$，使得A存在$varepsilon$网。
但是，对于序列${frac{1}{n}}$，收敛到0，但0不在$A$内，所以$A$不是列紧集。
12. 在距离空间中举例说明，对于紧性而言全有界性是必要的，但不是充分的。
解： $(0,1)$
13. 如果距离空间是$(X,d)$紧的，证明对于任意的$varepsilon>0$，空间$X$都有一个有限子集$M$，使得每一点$x in X$到M的距离$d(x,M)=inf limits_{y in M}d(x,y) < varepsilon$。
证明：距离空间是$X$紧的，所以是全有界的。那么$X$存在有限子集$M$构成的$varepsilon$网，使得每一点$x in X$到M的距离$d(x,M)=< varepsilon$。
14. 举例说明不动点定理的完备性条件是不可缺少的。
解：$(0,1]$，$Tx=frac{x}{2}$，$T$是压缩映射，但是没有不动点。因为不动点在空间外~
15. 设$X$是一个距离空间，当$x e y$时，如果$T:X o X$满足$d(Tx,Ty)<d(x,y)$，而且T有一个不动点，证明这个不动点是唯一的。
证明：假设存在两个不动点$x e x^* in X$，那么
$d(x,x^*)=d(Tx,Tx^*) <d(x,x^*)$
欲使上式成立，只能是$d(x,x^*)=0$，则$x=x^*$，与假设矛盾。证毕。
16. 如果$T$是压缩的，证明$T^n$也是压缩的。如果$T^n$是压缩的，那么$T$不一定是压缩的。
证明：(1) $T$是压缩的，那么存在$0 le heta <1$，使得$d(Tx,Ty)< heta d(x,y)$。那么
$$d(T^nx,T^ny)< heta d(T^{n-1}x,T^{n-1}y)<ldots< heta^n d(x,y)$$
因为
$$0 le heta^n<1$$
所以$T^n$也是压缩的。
(2) $x=(x_1,x_2) in R^2$，定义$Tx=(x_2,0)$，$d(x,y)=sup limits_k |x_k-y_k|$，那么$T$不是压缩的，$T^2$是压缩的。
17. 迭代序列$x_n=f(x_{n-1})$收敛的一个充分条件是，$f$是连续可微的，而且$|f'(x)| le alpha <1$，试用Banach不动点定理来验证它。
证明：$forall x,y$，定义$d(x,y)=|x-y|$，由微分中值定理，存在$eta in [min(x,y),max(x,y)]$, 使得
$$|f(x)-f(y)|=|f'(eta)||x-y| le alpha|x-y|$$
那么，$f$是压缩的，由Banach不动点定理，存在唯一的收敛点使得x_n=f(x_{n-1}收敛。
18. 设$X$是赋范线性空间，$K subset X$是紧集，$T:K o K$满足
$$||Tx-Ty||<||x-y||(x e y)$$
证明$T$有唯一的不动点。
证明：令$d(x,y)=||x-y||$，根据压缩映射原理，可知$T$有唯一的不动点。
19. 设$(X,d)$是距离空间，其中$X=[1,+infty)$，$d$是通常的距离，定义映射$T$为$Tx=frac{x}{2}+frac{1}{x}$，证明$T$是一个压缩映射，对于$T$来说，请问最小的压缩系数和不动点是多少？
解： 定义
$$d(x,y)=|x-y|,|Tx-Ty|=|x-y||frac{1}{2}-frac{1}{xy}| le frac{1}{2} |x-y|$$
因为$x,y in [1,+infty]$。
所以$T$是一个压缩映射。压缩系数最小是$frac{1}{2}$
令$Tx=x$，得不动点为$sqrt{2}$。
20. 设$(X,d)$是一个距离空间，对于任意的$x,y in X$，$x e y$，$T$满足
$d(Tx,Ty)<d(x,y)$
(1)证明$T$最多有一个不动点。
(2)说明$T$可能没有不动点。
解：(1)
假设存在互异的不动点$x,x'$，那么
$d(x,x')=d(Tx,Tx')<d(x,x')$
则$x=x'$。证毕。
(2)定义映射$T$为$Tx=x+frac{1}{x}$，不动点在无穷远处，所以没有。
21. 请说明用迭代公式$x_n=g(x_{n-1})=(1+x_{n-1}^2)^{-1}$，能够解方程$f(x)=x^3+x-1=0$，对于$x_0=1$，计算$x_1,x_2,x_3$，并且给出$d(x,x_n)$的估计。
解：$f(x)=x^3+x-1=0Leftrightarrow x=(x^2+1)^{-1}$，所以求解方程$f(x)=x^3+x-1=0$等价于求解压缩映射$Tx=g(x)=(x^2+1)^{-1}$的不动点。
根据微分中值定理，$forall x,y in R$，$exists eta in [min(x,y),max(x,y)]$，使得
$$d(Tx,Ty)=|g'(eta)|d(x,y)$$
现讨论$g'(x),x<0$的大小。
$$g'(x)=frac{-2x}{(1+x^2)^2},g''(x)=frac{-2cdot (1+x^2)^2+2x cdot 2(1+x^2)cdot 2x}{(1+x^2)^4}$$
设分子为$p(x)=-2cdot (1+x^2)^2+2x cdot 2(1+x^2)cdot 2x=6x^4+4x^2-2$，利用求根公式，可得$p(x)=0$的解为$x=pm {sqrt{3} over 3}$，舍去正值得到
$g'(x)$的最大值点。$g'(-{sqrt{3} over 3})={3sqrt{3} over 8}<1$
因此，$d(Tx,Ty) le {3sqrt{3} over 8}d(x,y)$，所以存在不动点，使得方程$f(x)=x^3+x-1=0$有解。
对于$x_0=1$，
$$x_1=g(x_0)=frac{1}{2},x_2=g(x_1)=frac{4}{5},x-3=g(x_2)=frac{25}{41}$$
$$d(x,x_n) le {3sqrt{3} over 8}d(x,x_{n-1}) le ldots le ({3sqrt{3} over 8})^{n-1} d(x,1)$$
22. 映射$T:[a,b] o [a,b]$称为$[a,b]$上满足Lipschitz条件是指存在一个常数K使得对于任意的$x,y in [a,b]$，满足
$$|T(x)-T(y)| le K|x-y|$$
(1) T是否是一个压缩映射？
(2) 若T(x)有连续导数，试证明T满足Lipschitz条件。
解：(1)$K<1$时是一个压缩映射。(2)再次使用微分中值定理即可。
23. 设$(X,d)$是距离空间，$A$和$B$是$X$中的紧集，证明必存在$x_0 in A,y_0 in B$，使得$d(A,B)=d(x_0,y_0)$，其中$d(A,B)=inf{d(x,y):x in A y in B}$.
证明：由下确界定义，一定存在序列${x_n} subset A,{y_n} subset B$，使得$d(A,B)=lim limits_{n o +infty}d(x_n,y_n)$，因为$A$和$B$是$X$中的紧集，那么必存在子列${x_{n_k}},{y_{n_k}}$使得$x_{n_k} o x_0,y_{n_k} o y_0$。由$d(x,y)$的连续性得，$d(A,B)=d(x_0,y_0)$。
24. 设$A$是$R^2$中的有界闭集，$T$是$A o A$的算子。对于任意的$x,y in A$，有$d(Tx,Ty)<d(x,y)$.试证明$T$在$A$中有唯一的不动点。
证明：利用18题的方法即可。
25. 设$(X,d)$是完备的距离空间，$T$是$X o X$的算子。如果
$$alpha_n=sup limits_{x,y in X}frac{d(T^nx,T^ny)}{d(x,y)} o 0$$
证明$T$在$X$中有唯一的不动点。
证明： 存在性：根据条件，存在$a_{n_0}in [0,1)$，使得
$$alpha_{n_0}=sup limits_{x,y in X}frac{d(T^nx,T^ny)}{d(x,y)}$$
上式满足压缩映射条件，故$T^{n_0}$在$X$上存在唯一的不动点$x^*$，即$T^{n_0}x^*=x^*$
又由于$T^{n_0}(Tx^*)=T(T^{n_0}x^*)=Tx^*$，所以$Tx^*=x^*$
唯一性：假设存在互异的不动点$x,x'$，那么
$$alpha_n=sup limits_{x,x' in X}frac{d(T^nx,T^nx')}{d(x,x')} =sup limits_{x,x' in X}frac{d(x,x')}{d(x,y)} =1$$
与题设产生矛盾。
证毕。