Bloom Filter 原理及实现

题外话：

    很久没写博客了，因为前一段时间过年在家放假，又因为自己保研了，所以一直比较闲。整个假期，基本都在准备毕业设计的相关内容。我毕业设计的方向是关于搜索引擎的，因此，期间阅读了大量相关论文。阅读了很多论文和技术书籍之后，我有几点感触。首先，发现国内很多论文或是书籍只是大量引述其他人的研究结果，自己的独特的见解非常少，一篇文章，70%的内容都是在以介绍为主，感觉发这样的论文是没有什么意义的。相反，国外尤其是像MIT，斯坦福，google之类的领域专家发表很多极其优秀的论文，阅读后给人一种震撼。我之前在网上搜索技术文章或是论文的时候经常绕过英文的，现在发现国外的确有非常多优秀的外文文章，所以无障碍英文阅读能力是提升自己专业水平的重要因素。 我现在已经逐渐习惯阅读外文文章和书籍。

   期间，我还翻译了一篇关于网络信息采集和索引的外文文章，收获很大。不是因为，我从中获得了多少知识，而是在翻译的过程中，我了解了作者精心的设计思路以及严谨的语言表达，也锻炼了我翻译的能力以及组织语言的能力。

废话不多说了，开始正题，写个在爬虫系统中常用的URL去重经典算法Bloom Filter.

正题：

Bloom Filter概念和原理

引用一篇讲述非常好的文章。http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500，其博客里还有很多关于Bloom filter比较深入的研究，而且博客篇篇都很精彩，非常值得学习。

                                 Bloom Filter概念和原理

焦萌 2007年1月27日

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。因此，Bloom Filter不适合那些“零错误”的应用场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。

为了表达S={x₁, x₂,…,x_n}这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到{1,…,m}的范围中。对任意一个元素x，第i个哈希函数映射的位置h_i(x)就会被置为1（1≤i≤k）。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。   

在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函数，如果所有h_i(y)的位置都是1（1≤i≤k），那么我们就认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。下图中y₁就不是集合中的元素。y₂或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。

错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x₁, x₂,…,x_n}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：

其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e^-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)^k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明^[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

 

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e^−kn/m))，我们令g = k ln(1 − e^−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e^-kn/m，我们可以将g写成

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)^k ≈ (0.6185)^m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)，p’ = (1 − 1/m)^kn，我们可以将g’写成

 

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。

假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є (u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示

个集合。m位的位数组共有2^m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示

   

个集合。全集中n个元素的集合总共有

个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n log₂(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)^k = (1/2)^{mln2 / n}。现在令f≤є，可以推出

这个结果比前面我们算得的下界n log₂(1/є)大了log₂ e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom Filter必将获得更大的发展。

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.

[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.

[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf

[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt

 

C++代码实现：

bloom类简单的实现了，add和check操作。 有关更强大的扩展功能，可以参考Google code里面的一个bloom filter库，它支持了有关集合的相关操作。

/*
 * bloom.h
 *
 *  Created on: 2012-2-22
 *      Author: xiaojay
 */

#ifndef BLOOM_H_
#define BLOOM_H_
#include <vector>
#include "hashFun.h"

class Bloom
{
public :
    Bloom(int size , std::vector<HashFun*> hashfunclist );
    ~Bloom();
    void add(const char * text);
    bool check(const char * text);

private :
    const static int CHARBITSIZE = 8;
    int size;
    char * arr;
    std::vector<HashFun*> hashfunclist;
    inline void setbit(long pos);
    inline bool getbit(long pos);
};

#endif /* BLOOM_H_ */

#include"bloom.h"
#include<assert.h>

Bloom::Bloom(int size , std::vector<HashFun*> hashfunclist)
{
    assert(hashfunclist.size()>0);
    this->size = size;
    this->hashfunclist = hashfunclist;
    this->arr = new char [size];
}

Bloom::~Bloom()
{
    if(this->arr!=NULL)
    {
        delete this->arr;
    }
}

void Bloom::add(const char * text)
{
    int nfunc = hashfunclist.size();
    long code = 0;
    for(int i=0;i<nfunc;i++)
    {
        code = hashfunclist.at(i)->gethashval(text);

        if(code/CHARBITSIZE>size) return;
        else
        {
            setbit(code);
        }
    }
}

bool Bloom::check(const char * text)
{
    int nfunc = hashfunclist.size();
    long code = 0;
    for (int i=0;i<nfunc;i++)
    {
        code = hashfunclist.at(i)->gethashval(text);
        if(code/CHARBITSIZE>size) return false;
        else
        {
            if getbit(code) continue;
　　　　　　　　　else return false;
        }
    }
　　　　return true;
}

inline void Bloom::setbit(long code)
{
    arr[code/CHARBITSIZE] |= (1<<(code%CHARBITSIZE));
}

inline bool Bloom::getbit(long code)
{
    if(!(arr[code/CHARBITSIZE] & (1<<(code%CHARBITSIZE))))
    {
        return false;
    }
    return true;
}

 

由于hash函数的数量以及类型都不确定，所以我们创建一个抽象类HashFun，自定义的hash函数需要继承并实现其HashFun的gethashval方法。

#ifndef HASHFUN_H_
#define HASHFUN_H_

class HashFun
{
public :
    virtual long gethashval(const char * key) = 0;
};

#endif /* HASHFUN_H_ */

 

最后我们写个简单的demo，测试一下。

首先我们自定义两个hash函数HashFunA，HashFunB。

#include "hashFun.h"

class HashFunA : public HashFun
{
public:
    virtual long gethashval(const char * key)
    {
        unsigned int h=0;
        while(*key) h^=(h<<5)+(h>>2)+(unsigned char)*key++;
        return h%80000;
    }
};


#include"hashFun.h"

class HashFunB : public HashFun
{
public:
    virtual long gethashval(const char * key)
    {
        unsigned int h=0;
        while(*key) h=(unsigned char)*key++ + (h<<6) + (h<<16) - h;
        return h%80000;
    }
};

Main函数：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include"hashFunA.h"
#include"hashFunB.h"
#include"bloom.h"
#include<vector>
using namespace std;

int main()
{
    /*
     *    Create two hash functions
     */
    HashFunA *funa = new HashFunA();
    HashFunB * funb = new HashFunB();
    vector<HashFun*> hashfunclist;
    hashfunclist.push_back(funa);
    hashfunclist.push_back(funb);

    /*
     * Create Bloom object with two parameters :
     * size of the store array and list of hash functions
     */
    Bloom bloom(10000,hashfunclist);

    ///Add some words to bloom filter
    bloom.add("hello");
    bloom.add("world");
    bloom.add("ipad");
    bloom.add("iphone4");
    bloom.add("ipod");
    bloom.add("apple");
    bloom.add("banana");
    bloom.add("hello");

    /*
     * Test
     */
    char word[20];
    while(true)
    {
        cout<<"Please input a word : "<<endl;
        cin>>word;
        if(bloom.check(word))
        {
            cout<<"Word :"<<word<<" has been set in bloom filter."<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<"Word :"<<word<<" not exist !" <<endl;
        }
    }

    return 0;
}

 

总结：
  Bloom Filter的基本实现很简单，但是其原理和思路是非常出色的。这个可以应用到URL去重或是某些缓存系统上。在很多面试题里面，也会出现类似大数据量下去重或是筛选的问题，采用Bloom Filter算法就可以很轻松的解决了。