编译原理：深入理解正则表达式与NFA、DFA状态机

正则表达式

1 基本概念

1.1 正则

正则表达式是语法，正则语言是语义

def（正则表达式）：

给定字母表 Σ, Σ 上的正则表达式由且仅由以下规则定义:

1. ϵ 是正则表达式;

2. ∀a ∈ Σ, a 是正则表达式;

3. 如果 r 是正则表达式, 则 (r) 是正则表达式;

4. 如果 r 与 s 是正则表达式, 则 r|s, rs, r^∗ 也是正则表达式。

运算优先级: () ≻ ∗ ≻ 连接 ≻ |

def（正则表达式对应的语言）：

L(ϵ) = {ϵ}

L(a) = {a}, ∀a ∈ Σ

L((r)) = L(r)

• L(r|s) = L(r)∪L(s)
• L(rs) = L(r)L(s)
• L(r^∗) = (L(r))^∗

1.2 自动机

两大要素：

• 状态集S
• 状态转移函数δ

1.3 NFA

Nondeteministic Finite Automaton，非确定自动状态机

A 是一个五元组 A = (Σ, S, s0, δ, F):

1. 字母表 Σ (ϵ !∈ Σ)

2. 有穷的状态集合 S

3. 唯一的初始状态 s0 ∈ S

4. 状态转移函数 δ

   δ : S × (Σ ∪ {ϵ}) → 2^S

5. 接受状态集合 F ⊆ S

A 定义了一种语言 L(A): 它能接受的所有字符串构成的集合

约定：所有没有对应出边的字符默认指向一个不存在的 “空状态” ∅

关于自动机的两个问题：

• 给定字符串x，x是否属于L(A)
• L(A)究竟是什么

1.4 DFA

Deterministic Finite Automaton，确定性有穷自动机

A 是一个五元组 A = (Σ, S, s0, δ, F):

1. 字母表 Σ (ϵ !∈ Σ)

2. 有穷的状态集合 S

3. 唯一的初始状态 s0 ∈ S

4. 状态转移函数 δ

   δ : S × Σ → S

5. 接受状态集合 F ⊆ S

约定: 所有没有对应出边的字符默认指向一个不存在的 “死状态”

NFA vs DFA

1. 对于字母表中的每个符号，DFA中的每个状态都有且只有一条关于这个符号的出边（exiting transition）。NFA则未必，在同一个状态上可能有零条、一条甚至多条关于某一个符号的出边。
2. DFA的转换箭头上的标签必须是字母表中的，但NFA可以有标识为ϵ的边，NFA的状态可能有零条、一条甚至多条ϵ边。

1.5 下文将介绍的

2 RE到NFA：Tompson构造法

2.1 从正则表达式的定义出发

回顾一下正则表达式的递归定义：def（正则表达式）：

给定字母表 Σ, Σ 上的正则表达式由且仅由以下规则定义:

1. ϵ 是正则表达式;
2. ∀a ∈ Σ, a 是正则表达式;
3. 如果 r 是正则表达式, 则 (r) 是正则表达式;
4. 如果 r 与 s 是正则表达式, 则 r|s, rs, r^∗ 也是正则表达式。

2.2 Tompson构造法

Tompson构造法就是从这四条规则出发，定义了四个基本状态

• ϵ 是正则表达式

  

• a ∈ Σ 是正则表达式

  

• 如果 s 是正则表达式, 则 (s) 是正则表达式

  没什么好说的

• 如果 s, t 是正则表达式, 则 s|t 是正则表达式

  

• 如果 s, t 是正则表达式, 则 st 是正则表达式

  

• 如果 r, s 是正则表达式, 则r^∗ 也是正则表达式

  

2.3 例题一则

3 NFA到DFA：子集构造法

思想：用DFA模拟NFA

3.1 子集构造法

构造出的DFA，只要包含的NFA状态中有NFA接受状态，则该DFA状态为DFA接受状态

3.2 例子一则

NFA如2.3

4 DFA最小化

DFA最小化算法的基本思想：等价的状态可以合并

4.1 如何定义等价状态

最小化的直接想法就是，如果状态等价，就将其合并

问题在于：如何定义等价状态？

• 尝试1：

  

  这个定义是错误的，有时过于紧，有时过于松，反例如下：

  

  A ∼ C ∼ E 但是, 接受状态与非接受状态必定不等价

• 尝试2：

  

  √

4.2 从何下手

这个定义是递归的，该从何下手？

——反其道而行之，划分，而非合并！

4.3 流程

4.4 例子一则

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，我们直接从一个例子入手：

注：这里的操作顺序不唯一

因为接受状态和非接受状态必定不等价，定义Π₀ = {F, S F}

因此，合并AC

5 DFA到RE：Kleene构造法

• 字符串 x 对应于有向图中的路径
• 求有向图中所有 (从初始状态到接受状态的) 路径
• 但是, 如果有向图中含有环, 则存在无穷多条路径
• 不要怕, 我们有 Kleene 闭包

5.1 思想

思想上类似于floyed-warshell算法

Q的初始化：

∅ (注意: 它不是正则表达式) 的规定

• ∅r = r∅ = ∅
• ∅|r = r

5.2 算法

5.3 例子一则

• init

  

• step0

  

• step1

  

• step2