平均数

题目链接：平均数

考虑两种算法：

1、二分

每次判断能不能满足存在长度大于m的子串的平均值>=mid【可以考虑使用前缀和优化】

这个思路比较简单，代码：

#define INF 0x7fffffff
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=100010;
long long a[MAXN],sum[MAXN];
int n,m;
inline int read()
{
    int x=0,w=1;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') w=-1; c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return w*x;
}
bool judge(int mid)
{
    long long minn=INF;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
       sum[i]=sum[i-1]+a[i]-mid;
       if(i>=m)
       {
         minn=min(minn,sum[i-m]);
         if(sum[i]>=minn)
         return true;
       }
    }
    return false;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    a[i]=read(),a[i]*=10000;
    int l=0,r=20000000;
    while(l<r)
    {
      int mid=(l+r)>>1;
      if(judge(mid)) l=mid+1;
      else r=mid-1;
    }
    if(!judge(l)) --l;
    printf("%d
",l/10);
    return 0;
}

2、数学推导

^*发现很多题目跑的最快的算法都是别人的，比方说这题有人说是可以O(N)的

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先求部分和S(x)，然后连续子序列平均值就转化为S-x平面上的斜率：ave(x,y)=(S(y)-s(x-1))/(y-x+1)。考虑x<y<z的三个点如果S(y)是上凸的，则这个点一定没贡献。所以有用的点构成一个下凸的折线

用一个队列维护这个折线，加入新点时（如当前点为i，则新点为i-m），如果与队尾2个点形成上凸，则删除队尾点。如果队首2个点与当前点形成上凸，同理删除队首点。最后每次队首元素都是与点i斜率最大的点，再求最值就行了

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代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#define N 100005
typedef long long ll;
using namespace std;
ll n,m,s[N];
double ans=0.0;
ll q[N],t,h;   // 队列

double k(ll x,ll y){  // 计算s[x],s[y]的斜率
    return (s[y]-s[x]+0.0)/(y-x);
}
int main() {
    cin>>n>>m;
    for (ll i=1,x;i<=n;i++){
        cin>>x; s[i]=s[i-1]+x;
    }

    for (ll i=m;i<=n;i++){
        while (t-h>=2 && k(i-m,q[t-1])<k(i-m,q[t-2])) t--;   // 删除上凸点
        q[t++]=i-m;  // 入队
        while (t-h>=2 && k(i,q[h])<k(i,q[h+1])) h++;  // 移动最大斜率点
        ans=max(ans,k(i,q[h]));
    }

    cout<<(ll)floor(ans*1000)<<endl;
    return 0;
}

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