堆学习笔记（带有例题与详细讲解）

还是建议全屏阅读 O~

今天老师讲了一下堆，就在这里做一个小结吧~
堆，其实可以把它理解为一棵完全二叉树。我们所见到和用到的堆大多数都是二叉堆，所以这里直接把二叉堆称为堆。堆分为大根堆和小根堆。所谓大根堆 就是一颗完全二叉树，但是他的以每一个一节点作为根节点的子树中，根节点，也就是root是字数中最大的至（包括以整个完全二叉树和根节点）。而小根堆则反之。堆在我们的脑海之中是一棵完全二叉树，但是他实际是用一个数组来存储的，支持两种操作。我们一般把存储堆的数组命名为 Heap ，（老师说最好大写），支持的两种操作分别是：

• Put_Heap 用于在堆的末尾插入一个新的元素并且维护原本堆
• Get_Heap 删除根节点并且选举出新的根节点，即维护这个堆
  同时，堆还有一个重要的性质：
  那就是：

若我们设一个有儿子的一个节点在数组中的位置为 father, 那么他的两个儿子的位置分别为：
father * 2， father * 2 + 1
若不理解的可以自行在纸上画出一棵二叉树来研究。

下面是小根堆中两种操作的代码：

void Put_Heap(int x) {//x为要插入的元素
	Heap[++Heap_Size] = x;
	int fa, now = Heap_Size;
	while (now > 1) {
		fa = now >> 1;
		if (Heap[fa] <= Heap[now]) break;
		swap(Heap[fa], Heap[now]);
		now = fa;
	}
}

int Get_Heap() {
	int now, son, res;
	res = Heap[1];
	Heap[1] = Heap[Heap_Size--];
	now = 1;
	while (now * 2 <= Heap_Size) {//没有越界 
		son = now * 2;//先暂定为和左儿子交换 
		if (son < Heap_Size && Heap[son + 1] < Heap[son]) {//如果存在右儿子且右儿子小于左儿子 
			son++;//现在的下标就是右儿子的下标 
		}
		if (Heap[now] <= Heap[son]) {
			break;//已经满足小根堆，就直接跳出 
		}
		swap(Heap[now], Heap[son]);//交换 
		now = son;//继续下滑 
	}
	return res;
}

下面让我们来一道例题：
题目描述：

输入n个数，利用堆把他排序后输出

这道题很简单，思路如下：
我们只需要先在输入的时候把每一个数字进行上述的 Put_Heap 操作，我们就可以建立一个小根堆，然后在输出的时候先把堆顶打印出来，然后用Get_Heap 操作来维护这个小根堆就好了，具体代码如下：

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 5;
int Heap[MAXN], Heap_Size;//第二个是小根堆的长度

void Put_Heap(int x) {
	Heap[++Heap_Size] = x;
	int fa, now = Heap_Size;
	while (now > 1) {
		fa = now >> 1;
		if (Heap[fa] <= Heap[now]) break;
		swap(Heap[fa], Heap[now]);
		now = fa;
	}
}

void Get_Heap() {
	int now, son;
	Heap[1] = Heap[Heap_Size--];
	now = 1;
	while (now * 2 <= Heap_Size) {//没有越界 
		son = now * 2;//先暂定为和左儿子交换 
		if (son < Heap_Size && Heap[son + 1] < Heap[son]) {//如果存在右儿子且右儿子小于左儿子 
			son++;//现在的下标就是右儿子的下标 
		}
		if (Heap[now] <= Heap[son]) {
			break;//已经满足小根堆，就直接跳出 
		}
		swap(Heap[now], Heap[son]);//交换 
		now = son;//继续下滑 
	}
}

int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int a;
		scanf("%d", &a);
		Put_Heap(a);
	}
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		printf("%d ", Heap[1]);
		Get_Heap();
	}
	return 0;
}//所有步骤如上所述

是不是很简单？
下面我们可以再来看一道题：
题目描述

如题，初始小根堆为空，我们需要支持以下3种操作：

操作1： 1 x 表示将x插入到堆中

操作2： 2 输出该小根堆内的最小数

操作3： 3 删除该小根堆内的最小数

同样也很简单，我们可以在操作1的时候调用 Put_Heap函数，实现这个操作；操作2根据小根堆的性质，我们就可以直接输出根节点就可以了；操作3我们就可以调用 Get_Heap函数，从而删除最小数（也就是根节点），代码实现如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 5;
int Heap[MAXN], Heap_Size;

void Put_Heap(int x) {
	Heap[++Heap_Size] = x;
	int fa, now = Heap_Size;
	while (now > 1) {
		fa = now >> 1;
		if (Heap[fa] <= Heap[now]) break;
		swap(Heap[fa], Heap[now]);
		now = fa;
	}
}

void Get_Heap() {
	int now, son, res;
	res = Heap[1];
	Heap[1] = Heap[Heap_Size--];
	now = 1;
	while (now * 2 <= Heap_Size) {
		son = now * 2;
		if (son < Heap_Size && Heap[son + 1] < Heap[son]) {
			son++;
		}
		if (Heap[now] <= Heap[son]) {
			break;
		}
		swap(Heap[now], Heap[son]);
		now = son;
	}
}

int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int a;
		scanf("%d", &a);
		if (a == 1) {
			int b;
			scanf("%d", &b);
			Put_Heap(b);
		}
		else if (a == 2) {
			printf("%d
", Heap[1]);
		}
		else {
			Get_Heap();
		}
	}
	return 0;
}

这些都是堆的一些简单不过的模板题，在文章的最后，让我们再来看一道堆的应用吧（我知道你很想看）
题目描述：

一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子
合成一堆。

每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过
n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。 因为还要花大力
气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类
数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的
第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的
体力耗费值。

输入格式：

输入包括两行。
第一行是一个整数n(1<＝n<=10000)，表示果子的种类数。
第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai(1<＝ai<=20000)是第i种果子的数目。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于2的31次方。

想必这道题可能有些读者想用区间 dp 来做，但是要注意，合并时果子不必是连着的（有些读者可能一下子就想到了《石子合并》）。
所以我们可以采用贪心或者堆，这里就只说堆的做法，贪心的话读者可以自己思考。
思路如下：
我们可以在输入的时候建立一个小根堆，然后两次取出，再用一个 ans 来累加答案，再把取出的两个值合并成一个插入小根堆，最后输出堆中的唯一一个值就可以A掉。
参考代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000005;

int n, heap[MAXN], heap_size, c, ans;

void put_heap(int x) {
	int fa, now;
	heap[++heap_size] = x;
	now = heap_size;
	while(now > 1) {
		fa = now >> 1;
		if(heap[now] >= heap[fa]) return ;
		swap(heap[now], heap[fa]);
		now = fa;
	}
}

int get_heap() {
	int now, next, res;
	res = heap[1];
	heap[1] = heap[heap_size --];
	now = 1;
	while(now * 2 <= heap_size) {
		next = now * 2;
		if(next < heap_size && heap[next + 1] < heap[next]) next ++;
		if(heap[now] <= heap[next]) return res;
		swap(heap[now], heap[next]);
		now = next;
	}
	return res;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		scanf("%d", &c);
		put_heap(c);
	}
	for(int i = 1;i < n; i++) {
		int x = get_heap();
		int y = get_heap();
		ans += x + y;
		put_heap(x + y);
	}
	printf("%d
", ans);
	return 0;
}

博客就写到这里了，感谢拜读！