【并查集学习笔记】------迟来的总结

定义

并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。---百度
并查集，顾名思义，也就是支持 “并”， “查”， “集”的一种数据结构，可以合并，查询以及集合。是一种极为重要的算法，在各个方面均有应用。

实现并查集

并查集一般支持两个操作：

• 查找祖先
• 合并集合
  如下：
  首先，我们需要一个 fa 数组，把 fa[i] 初始化为 i。也就是最开始的时候，他的爸爸就是他自己。

for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

然后，我们还要一个 Find 函数用于查找他的祖先，具体的原理就是递归实现。
注 : 我们最好不要用 find，因为它好像是一个关键字还是函数之类的东西，并且单驼峰命名也是一个好习惯

int Find (x) {
	if (fa[x] != x) return Find (fa[x]);
    //因为我们可以知道，一个集合的祖先的父亲肯定是没有被改变过的，也就是我们初始化时的他自己，如果这个节点的父亲还不是祖先，那么我们就要寻找他父亲的父亲（一辈一辈往上找）
	else return fa[x]; //否则我们就返回他自己（边界）（此处返回 x 是一样的）
}

我们就会发现，万一有一个集合是下面的样子呢?

那么我们就会发现，我们的每一次访问都可能会浪费掉很多时间，又因为我们每一次查找的目的都是为了查找一个点的祖先，所以我们可以在查找 x 的祖先的时候，就直接把他的父亲的值直接赋成他的祖先，也就是：

int Find (x) {
	if (fa[x] != x) return fa[x] = Find (fa[x]);
	else return fa[x]; 
}

没错，就是上面的代码，只是变了一点点而已，但他却可以大大优化你的时间复杂度（大多数题都会卡你），并且他还有一个很高大上的名字 : 路径压缩

我们还需要一个 Merge 函数来进行合并两个数，原理就附在代码上

bool Merge (int x, int y) {//布尔是因为大多数题都还有其他操作，随机应变咯
	x = Find (x);
	y = Find (y);//查找各自的祖先
	if (x == y) return 0;//假如他们就在同一个集合之中，那么不用管他们
	fa[y] = x;//把 y 的父亲修改成 x (因为大多数题目中，x < y)
	return 1;
}