[LOJ#500]「LibreOJ β Round」ZQC的拼图

题目

  点这里看题目。

分析

  首先不难发现答案具有单调性，因此可以二分答案。答案上限为(V=2m imes max{a_i, b_i})。
  考虑如何去判断当前的答案。设这个答案为(mid)。
  我们可以将一块三角形拼图看做一个向量，表示在这个拼图内走过的位移。因此我们的叠放的拼图可以看做一组连续的向量。
  因此可以发现拼图摆放顺序不影响结果。
  故可以考虑一个 DP :
  (f(i,j,k))：前(i)块拼图可不可以走到((j,k))这个位置。
  转移略。这个做法有着(O(nm^4))的优秀复杂度......
  不过判断性的 DP 实际上是非常不划算的。我们考虑把它转成一个最优性的 DP 。
  可以发现一个单调性：如果可以用一些拼图走到((i,j))，那么对于(kle j)，我们也一定可以走到((i,k))。
  证明不会略，感性理解一下就好（其实不难理解）。
  然后就可以想到一个 DP ：
  (f(i,j))：(max{k| ext{用前}i ext{块拼图可以走到}(k,j)})。
  转移就只需要考虑新的一块拼图放在前(i-1)块凑出的边界上的情况：

[f(i,j)=max_{max{0, j-lfloorfrac {mid}{a_i} floor}le kle j}{f(i-1,k)+lfloorfrac{mid-a_i(j-k)}{b_i} floor} ]

  转移(O(nm^2))。总时间为(O(nm^2log_2 V))。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 105, MAXM = 105;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
_T MAX( const _T a, const _T b )
{
	return a > b ? a : b;
}

int f[MAXN][MAXM];
int a[MAXN], b[MAXN];
int N, M;

bool chk( int K )
{
	int lA;
	memset( f, 0xc0, sizeof f );
	f[0][0] = 0;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
		for( int j = 0 ; j <= M ; j ++ )
		{
			lA = 1.0 * K / a[i];
			for( int k = j ; ~ k && j - k <= lA ; k -- )
				f[i][j] = MAX( f[i][j], f[i - 1][k] + int( 1.0 * K / b[i] + 1.0 * a[i] / b[i] * ( k - j ) ) );
		}
	return f[N][M] >= M;
}

int main()
{
	int l = 1, r = 0, mid;
	read( N ), read( M );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( a[i] ), read( b[i] ), r = MAX( r, MAX( a[i], b[i] ) );
	r *= M << 1;
	while( r - l > 1 )
	{
		mid = l + r >> 1;
		if( chk( mid ) ) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	if( chk( l ) ) write( l );
	else write( r );
	puts( "" );
	return 0;
}