[NOI2012] 美食节

题目

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分析

本题的弱化版便是[SCOI2007]修车。

考虑现在有 (n) 份菜给一位厨师做，时间分别为 (t_1,t_2,dots,t_n) ，总等待时间为：

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^it_{j}=sum_{j=1}^nt_j(n-j+1)=sum_{j=1}^nj imes t_{n-j+1} ]

由于 (t) 的顺序任意，所以我们可以将时间分摊到每份菜上面，即可以直接认为第 (i) 份菜的花费为 (i imes t_i) 。

注意到费用同时收菜的种类，厨师身份和做菜顺序三个影响，于是可以想到如下建图方式：

• 对于 (m) 位厨师，每位厨师拆成 (p) 个点，点 ((i,j)) 表示厨师 (i) 正在做第 (j) 道菜；对于每个点 ((i,j)) 连向汇点，容量为 1 ，费用为 0 。
• 对于 (n) 道菜，建立 (n) 个点，源点向第 (i) 道菜连接边，容量为 (p) ，费用为 0 。
• 对于第 (i) 道菜和任意个厨师点 ((x,y)) ，连接 (i ightarrow (x,y)) ，容量为 1 ，费用为 (y imes t_{i,x}) 。

注意到一个重要的性质：在费用最小的情况下，每道菜的制作时间必然会尽量地靠前，因此不会出现做菜中断的情况。

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但是这里，这种暴力建图方法会......直接 T 飞。

问题很明显，点太多，导致边也太多。我们需要减少点数。

回到性质，可以得出：如果第 (i) 个厨师都还没有做第 (j) 道菜，那么他也不可能做 (j+1) 道， (j+2) 道以及更多的菜。也即，我们只需要在图上加入第 (i) 个厨师的第一道未做的菜，而剩余的点，则完全可以在做完一道菜之后再加入到图中。

注意本题的 " 做菜 " 实际上就是在图上推流量为 1 的流，所以我们每次推流之后都需要加点。可以发现这样的点数就是 (O(m+p)) ，边数就是 (O(n(m+p))) ，再加上玄学的网络流复杂度就可以通过了。

小结：

1. 拆分代价的思想，使得代价最终与顺序无关
2. 对于单调性质的利用，从而删除多余点，优化的点、边数量。

代码

#include <cstdio>

#define rep( i, a, b ) for( int (i) = (a) ; (i) <= (b) ; ++ (i) )
#define per( i, a, b ) for( int (i) = (a) ; (i) >= (b) ; -- (i) )

typedef long long LL;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 5, MAXM = 1e6 + 5;
const int MAXS = 1e3 + 5;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
	while( s < '0' || '9' < s ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
	while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ); s = getchar(); }
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
	if( 9 < x ) write( x / 10 );
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
_T MIN( const _T a, const _T b )
{
	return a < b ? a : b;
}

struct Edge
{
	int to, nxt, w, c;
}Graph[MAXM << 1];

int q[MAXN], fro, rea;

int tim[MAXS][MAXS];
int id[MAXS][MAXS], len[MAXS];

int head[MAXN], dist[MAXN], cur[MAXN], bel[MAXN], prev[MAXN];
int N, M, cnt = 1, tot, source, sink;
bool vis[MAXN];

void AddEdge( const int from, const int to, const int C, const int W )
{
	Graph[++ cnt].to = to, Graph[cnt].nxt = head[from];
	Graph[cnt].c = C, Graph[cnt].w = W, head[from] = cnt;
}

void AddE( const int from, const int to, const int C, const int W ) { AddEdge( from, to, C, W ), AddEdge( to, from, 0, -W ); }

#define Nxt( x ) ( x = ( x + 1 ) % MAXN )

bool SPFA( const int S, const int T )
{
	int u, v; fro = rea = 0;
	rep( i, 1, tot ) dist[i] = INF, prev[i] = 0;
	dist[q[rea] = S] = 0, vis[S] = true, Nxt( rea );
	while( fro ^ rea )
	{
		vis[u = q[fro]] = false, Nxt( fro );
		for( int i = head[u] ; i ; i = Graph[i].nxt )
			if( Graph[i].c && dist[v = Graph[i].to] > dist[u] + Graph[i].w )
			{
				dist[v] = dist[u] + Graph[i].w, prev[v] = i;
				if( ! vis[v] ) vis[q[rea] = v] = true, Nxt( rea );
			}
	}
	return dist[T] < INF;
}

void Add( const int j )
{
	bel[id[j][++ len[j]] = ++ tot] = j;
	rep( i, 1, N ) AddE( i, id[j][len[j]], 1, tim[i][j] * len[j] );
	AddE( id[j][len[j]], sink, 1, 0 );
}

int main()
{
	read( N ), read( M ), tot = N, source = ++ tot, sink = ++ tot;
	rep( i, 1, N ) { int p; read( p ), AddE( source, i, p, 0 ); }
	rep( i, 1, N ) rep( j, 1, M ) read( tim[i][j] );
	rep( j, 1, M ) Add( j );
	
	LL cost = 0; int delt;
	while( SPFA( source, sink ) )
	{
		delt = INF;
		for( int u = sink ; u ^ source ; u = Graph[prev[u] ^ 1].to ) delt = MIN( delt, Graph[prev[u]].c );
		for( int u = sink ; u ^ source ; u = Graph[prev[u] ^ 1].to ) Graph[prev[u]].c -= delt, Graph[prev[u] ^ 1].c += delt;
		cost += delt * dist[sink], Add( bel[Graph[prev[sink] ^ 1].to] );
	}
	write( cost ), putchar( '
' );
	return 0;
}