题目
给定 (n,k)，求所有 ({1,2,dots,n}) 的排列中，逆序对数量为 (k) 的排列的数量，对 (10^9+7) 取模。
数据范围：对于 (100\%) 的数据，满足 (1le nle 10^5,1le kle min{10^5,inom{n}{2}})
分析
考虑逆序对数的一种描述方式：
设 (x_i) 为 (i) 这个元素作为较前者时贡献的逆序对数量，那么总逆序对数量即 (sum_i x_i)。
显然有 (0le x_i<i)。更重要的是，所有的排列与所有的 (x) 组合是双射关系，我们只需要对 (x) 计数即可。
(x) 确定的时候，我们从小到大加入每一个元素，那么 (x_i) 即可唯一确定元素 (i) 在加入时的位置。
处理这种问题的自然想法是容斥，考虑枚举超出上界的元素集合，从而得到：
[sum_{Ssubseteq{1,2,dots,n}}(-1)^{|S|}inom{k-sum_{xin S}x+n-1}{n-1}
]
方法 1
注意到后面的组合数仅和 (sum_{xin S}x) 相关，我们自然可以想到计算容斥系数。
设 (f_i) 为 (sum_{xin S}x=i) 时的容斥系数，容易写出 (f) 的生成函数：
[F(x)=sum_{i=0}^kf_i=prod_{i=1}^n(1-x^i)
]
如何计算 (F(x)mod x^{k+1})？由于乘积式的每一项形式简单，我们可以先 (ln) 再 (exp)：
[egin{aligned}
F(x)
&=prod_{i=1}^n(1-x^i)\
&=exp(sum_{i=1}^nln(1-x^i))\
&=exp(-sum_{i=1}^nsum_{jge 1}frac{x^{ji}}{j})
end{aligned}
]
(exp) 内部的多项式易于计算。但由于模数是 (10^9+7)，所以需要写任意模数的多项式运算。
此处使用半在线卷积计算 (exp) 可能会得到更小的常数。
方法 2
直接将 (|S|) 和 (sum_{xin S}x) 都存入状态，我们可以设计 DP：
设 (g_{i,j}) 为 (|S|=i,sum_{xin S}x=j) 的 (S) 数量。有一点难处理的地方在于，我们需要保证 (S) 内部的元素不同。
在不计顺序的情况下，(S) 与某个上升序列对应。那么每个上升序列可以被如此构造：首先，序列为空；此后每一步，向序列中的每个元素加上若干个 1，并在序列头部插入一个 1；在你想要的时候停止操作即得到了一个上升序列。
中间的这一步也相当于要么向每个元素 +1，要么 +1 后在头部插入 1。
另外还要注意，我们需要保证 (S) 的元素不会超过 (n)，然而我们的构造方法并不能避免这种情况——手动规避即可：由于序列每次操作只会 +1，所以最多会出现最后一个元素为 (n+1) 的情况，减去即可。
看似复杂度还是 (O(nk))，但其实不然；由于 (S) 中的元素互不相同，因此 (jge frac{i(i+1)}{2})，即对于 (j)，有效的 (i) 有 (O(sqrt{n})) 个。
当 (n,k) 同阶的时候时空复杂度为 (O(nsqrt{n}))。
小结：
- 方法 1 中对乘积先取 (ln) 再取 (exp) 的方式，对于多项简单乘积很有效；
- 方法 2 中注意这样差分思想的单调序列构造方式。此外同样要准确分析状态数量，一定要注意“不同元素和较小”的性质！！！
代码
方法 1
偷懒了，模数是 (998244353)
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
const int mod = 998244353, g = 3, phi = mod - 1;
const int MAXN = 4e5 + 5;
template<typename _T>
void read( _T &x )/*{{{*/
{
x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
x *= f;
}/*}}}*/
template<typename _T>
void write( _T x )/*{{{*/
{
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}/*}}}*/
int fac[MAXN], ifac[MAXN];
int N, K;
inline int Qkpow( int, int );
inline int Mul( int x, int v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Inv( const int a ) { return Qkpow( a, mod - 2 ); }
inline int Sub( int x, int v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, int v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }
inline int C( int n, int m ) { return n < m ? 0 : Mul( fac[n], Mul( ifac[m], ifac[n - m] ) ); }
inline int Qkpow( int base, int indx )/*{{{*/
{
int ret = 1;
while( indx )
{
if( indx & 1 ) ret = Mul( ret, base );
base = Mul( base, base ), indx >>= 1;
}
return ret;
}/*}}}*/
inline void Init( const int n = 3e5 )/*{{{*/
{
fac[0] = 1; rep( i, 1, n ) fac[i] = Mul( fac[i - 1], i );
ifac[n] = Inv( fac[n] ); per( i, n - 1, 0 ) ifac[i] = Mul( ifac[i + 1], i + 1 );
}/*}}}*/
namespace Basic/*{{{*/
{
const int L = 18;
int w[MAXN];
void NTTInit( const int n = 1 << L )/*{{{*/
{
w[0] = 1, w[1] = Qkpow( g, phi >> L ); rep( i, 2, n - 1 ) w[i] = Mul( w[i - 1], w[1] );
}/*}}}*/
void DIF( int *coe, const int n )/*{{{*/
{
int *wp, p, e, o;
for( int s = n >> 1 ; s ; s >>= 1 )
for( int i = 0 ; i < n ; i += s << 1 )
{
wp = w, p = ( 1 << L ) / ( s << 1 );
for( int j = 0 ; j < s ; j ++, wp += p )
{
e = coe[i + j], o = coe[i + j + s];
coe[i + j] = Add( e, o );
coe[i + j + s] = Mul( *wp, Sub( e, o ) );
}
}
}/*}}}*/
void DIT( int *coe, const int n )/*{{{*/
{
int *wp, p, k;
for( int s = 1 ; s < n ; s <<= 1 )
for( int i = 0 ; i < n ; i += s << 1 )
{
wp = w, p = ( 1 << L ) / ( s << 1 );
for( int j = 0 ; j < s ; j ++, wp += p )
k = Mul( *wp, coe[i + j + s] ),
coe[i + j + s] = Sub( coe[i + j], k ),
coe[i + j] = Add( coe[i + j], k );
}
std :: reverse( coe + 1, coe + n );
int inv = mod - ( mod - 1 ) / n; rep( i, 0, n - 1 ) coe[i] = Mul( coe[i], inv );
}/*}}}*/
}/*}}}*/
namespace Solution
{
int P[MAXN], Q[MAXN];
int f[MAXN], g[MAXN];
int inv[MAXN];
void Divide( const int l, const int r )
{
if( l == r )
{
if( l == 0 ) g[l] = 1;
else g[l] = Mul( g[l], inv[l] );
return ;
}
int mid = l + r >> 1; Divide( l, mid );
int L = 1; for( ; L < r - l + 1 + mid - l + 1 ; L <<= 1 );
rep( i, 0, L - 1 ) P[i] = Q[i] = 0;
rep( i, l, mid ) P[i - l] = g[i];
rep( i, 0, r - l ) Q[i] = f[i];
Basic :: DIF( P, L ), Basic :: DIF( Q, L );
rep( i, 0, L - 1 ) P[i] = Mul( P[i], Q[i] );
Basic :: DIT( P, L );
rep( i, mid + 1, r ) g[i] = Add( g[i], P[i - l] );
Divide( mid + 1, r );
}
void Solve()
{
rep( i, 1, K ) inv[i] = Inv( i );
rep( j, 1, N )
for( int k = 1 ; 1ll * k * j <= K ; k ++ )
f[j * k] = Sub( f[j * k], inv[k] );
rep( i, 0, K ) f[i] = Mul( i, f[i] );
Basic :: NTTInit();
Divide( 0, K );
int ans = 0;
rep( i, 0, K )
ans = Add( ans, Mul( g[i], C( K - i + N - 1, N - 1 ) ) );
write( ans ), putchar( '
' );
}
}
int main()
{
read( N ), read( K ), Init();
Solution :: Solve();
return 0;
}
方法 2
#include <cstdio>
#define rep( i, a, b ) for( int i = (a) ; i <= (b) ; i ++ )
#define per( i, a, b ) for( int i = (a) ; i >= (b) ; i -- )
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 2e5 + 5, MAXB = 700;
template<typename _T>
void read( _T &x )/*{{{*/
{
x = 0; char s = getchar(); int f = 1;
while( ! ( '0' <= s && s <= '9' ) ) { f = 1; if( s == '-' ) f = -1; s = getchar(); }
while( '0' <= s && s <= '9' ) { x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar(); }
x *= f;
}/*}}}*/
template<typename _T>
void write( _T x )/*{{{*/
{
if( x < 0 ) putchar( '-' ), x = -x;
if( 9 < x ) write( x / 10 );
putchar( x % 10 + '0' );
}/*}}}*/
int dp[MAXB][MAXN];
int fac[MAXN], ifac[MAXN];
int N, K;
inline int Qkpow( int, int );
inline int Mul( int x, int v ) { return 1ll * x * v % mod; }
inline int Inv( const int a ) { return Qkpow( a, mod - 2 ); }
inline int Sub( int x, int v ) { return ( x -= v ) < 0 ? x + mod : x; }
inline int Add( int x, int v ) { return ( x += v ) >= mod ? x - mod : x; }
inline int C( int n, int m ) { return n < m ? 0 : Mul( fac[n], Mul( ifac[m], ifac[n - m] ) ); }
inline void Upt( int &x, const int v ) { x = Add( x, v ); }
inline int Qkpow( int base, int indx )/*{{{*/
{
int ret = 1;
while( indx )
{
if( indx & 1 ) ret = Mul( ret, base );
base = Mul( base, base ), indx >>= 1;
}
return ret;
}/*}}}*/
void Init( const int n = 2e5 )/*{{{*/
{
fac[0] = 1; rep( i, 1, n ) fac[i] = Mul( fac[i - 1], i );
ifac[n] = Inv( fac[n] ); per( i, n - 1, 0 ) ifac[i] = Mul( ifac[i + 1], i + 1 );
}/*}}}*/
int main()
{
read( N ), read( K ), Init();
dp[0][0] = 1;
int ans = C( K + N - 1, N - 1 ), res;
for( int i = 1 ; ; i ++ )
{
if( 1ll * i * ( i + 1 ) / 2 > K ) break;
for( int j = i * ( i + 1 ) >> 1 ; j <= K ; j ++ )
{
if( j >= i ) Upt( dp[i][j], Add( dp[i][j - i], dp[i - 1][j - i] ) );
if( j > N ) Upt( dp[i][j], mod - dp[i - 1][j - N - 1] );
res = Mul( dp[i][j], C( K - j + N - 1, N - 1 ) );
Upt( ans, i & 1 ? mod - res : res );
}
}
write( ans ), putchar( '
' );
return 0;
}