Ray Tracing

在光线追踪算法中, 光线与各类几何体求交, 是渲染着色的基础. 几何体根据表示方式不同可以分为两个大类:

• 隐式曲面, Implicit Surface. (隐含几何体的点信息)
• 显式曲面, Explicit Surface. (直接包含几何体的点线面信息)

几何体的隐式曲面和显式曲面表示形式, 区别有点类似于图形与图像的区别.

• 图形: 具有数学表达的几何对象 (点线面); 例如, 矢量图.
• 图像: 离散表达, 像素, 光栅化; 例如, 栅格图.

关于隐式曲面和显示曲面的详细介绍可以参考 ^[1]

Ray Equation

Ray, 光线, 定义为射线, 从一个点出发, 沿着某一方向前行.

在 Ray 传播路径上的点 (P(x_p,y_p,z_p)), 都可以表示为以下形式:

[(x_p, y_p, z_p) = (o_x+td_x, o_y+td_y, o_z+td_z) = vec{o} + tvec{d} ]

(t) 的直观含义: 从光源出发, 沿着光线传播方向传播的距离/时间.

Implicit Surface

隐式曲面不会告诉任何点的信息, 只会告诉该曲面上所有点满足的关系.

三维空间中的隐式曲面可以统一表示为以下形式:

[f(x,y,z) = 0 ]

Ray 与曲面相交, 交点即在Ray上, 又在几何体上. 即:

[f(x,y,z) = f(o_x+td_x, o_y+td_y, o_z+td_z) = 0 ]

只有一个变量 (t), 因此对于各种隐式曲面表达式, 结合各种数值方法 ^[2], 总能找到一个合适的解.

Sphere

交点计算结果

具体推导过程

对于简单几何体, 例如球, 我们可以推导交点与法线的坐标表示.

球的隐式曲面表示: 假设圆心为 (vec{c} = (c_x, c_y, c_z))

[(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2 + (z-c_z)^2 = R^2 ]

交点 (P(x_p,y_p,z_p)) 即在 Ray 上, 又在 Sphere 上, 满足:

[egin{cases} (x_p, y_p, z_p) = (o_x+td_x, o_y+td_y, o_z+td_z) \ (x_p-c_x)^2 + (y_p-c_y)^2 + (z_p-c_z)^2 = R^2 \ end{cases} ]

此时未知量仅有 (t), 即:

[At^2 + Bt + C = 0 \ ]

(A, B, C) 的向量形式表示如下:

[egin{cases} A = vec{d} cdot vec{d} \ B = 2(vec{o} - vec{c}) cdot vec{d} \ C = (vec{o}-vec{c}) cdot (vec{o}-vec{c}) - R^2 end{cases} ]

对于 (t) 为未知量的二元一次方程, 存在闭式解:

[t=frac{-B pm sqrt{B^{2}-4 A C}}{2 A} ]

根据 (t) 的含义可知, (t) 的最小正数解对应于光线与物体最近的点 (P), 正数解的个数对应于球与光线的交点个数.

• 交点 (P = vec{o} + tvec{d});
• 法线 (vec{n} = vec{CP}), (圆心与交点的连线)

代码实现

auto x = ray.o - center;
double a = dot(ray.d, ray.d);
double b = 2 * dot(x, ray.d);
double c = dot(x, x) - radius * radius;

double t0, t1;
if (!Quadratic(a, b, c, &t0, &t1)) return false;
if (t0 > ray.tmax || t1 < 0.0) return false;

auto t = t0 < 0.0? t1: t0;
auto p_hit = ray.at(t);
auto p_norm = (p_hit - center).normalized();

Explicit Surface

Triangle Mesh, 三角网格, 由多个三角形组成, 是一类重要的隐式曲面. 三维物体常常组织为 Mesh 形式. 光线与三角形求交是光线与 Mesh 求交的基础.

Triangle Mesh

• 在不使用加速结构的情况下, 可以测试 Ray 与 Mesh 中的每一个三角形检测是否相交, 所有交点中最近的交点位置, 即是 Ray 与 Mesh 的交点.
• 当 Mesh 表示的物体有"内外"之分时: 奇数交点表示光源在 Mesh 内部; 偶数交点表示光源在物体外部. (不考虑相切)

• 简单实现: 遍历每个三角形, 获取 Ray 与 Mesh 的交点.

bool TriMesh::intersect(const Ray &ray, double &t_hit, Interaction &isect) const {
    bool hit = false;
    for (auto triangle : triangles) {
        if (triangle.get()->intersect(ray, t_hit, isect)) {
            ray.tmax = t_hit;
            hit = true;
        }
    }
    return hit;
}

Triangle

有多种方法可以计算射线与三角形的交点, 比如高效的 Möller–Trumbore 算法^[3]. 这里我们使用最直观的一种方式, 将射线与三角形求交分解为一下两个过程:

• 计算射线与三角形所在平面的交点
• 判断交点是否在三角形内部

交点计算结果

计算射线与三角形所在平面的交点计算;

判断交点是否在三角形内部 (叉乘判断) ^[4]

• 除了使用叉乘同向法, 还有内角和法^[5], 面积法^[6]等方法, 来计算判断一个点是否在三角形内部.
  • 面积法: 当点在三角形内部时, 有 (S_{ riangle{ABC}} = S_{ riangle{OAB}}+S_{ riangle{OBC}}+S_{ riangle{OCA}}).

代码实现

// 1. Ray 与 三角形所在的平面相交, 得到交点 p
double t = dot((a - ray.o), n) / dot(ray.d, n);
if (t < 0 || t > ray.tmax) return false;
// 2. 判断交点 p 是否在三角形内部
auto p = ray.at(t);
auto ap = p - a;
auto bp = p - b;
auto cp = p - c;
auto t0 = cross(ab, ap);
auto t1 = cross(bc, bp);
auto t2 = cross(ca, cp);
auto ret_0 = dot(t0, t1);
auto ret_1 = dot(t1, t2);
auto ret_2 = dot(t2, t0);
// 3. 使用点乘判断叉乘结果是否同向
if (ret_0 < 0 || ret_1 < 0 || ret_2 < 0) return false;

References

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1. 计算机图形学九：隐式曲面(代数形式,CSG, 距离函数,分型几何)与显式曲面 ↩︎

2. 数值计算非线性方程求根 ↩︎

3. Möller–Trumbore intersection algorithm ↩︎

4. Cross product ↩︎

5. 判断点是否在三角形内 ↩︎

6. 如何判断一个点是否在三角形内？ ↩︎