位运算

 异或求和

Problem's Link:  http://acm.xmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1254

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Mean: 

Description
给你2个区间[A,B]和[C,D],现在只要求你求出区间[A,B]和[C,D]内任意2个整数异或后的和，因为答案可能会很大，你只需将结果%mod即可。

For(i:A→B)
      For(j:C→D)
           Sum += (i^j);

Input
输入第一行为T(T<=15),表示测试的数据组数，第2行到T+1行，每行5个数字，分别为A,B,C,D,mod.
(1<=A,B,C,D<2^31,A<=B,C<=D,1<=mod& lt;=1,000,000,007),即为上述的数值。
 

Output
输出有T行，每行有一个数字，代表题述的答案（即Sum % mod）。


Sample Input
3
5 11 9 12 43
9 12 5 11 83
1 1 2 2 3

Sample Output
18
24
0

analyse:

看到这么大的输入，再看看时限是500ms，开始有点摸不着头脑，看来只能用log(n)的方法来做了。

典型的位运算题目。

首先我们求出[A,B]区间中所有数各个位上1的个数。比如[1~8]就是1,4,4,4；

怎么求呢？

我们可以打表找一下规律：

1: 0001

2: 0010

3: 0011

4: 0100

5: 0101

6: 0110

7: 0111

8: 1000

9: 1001

.....

我们会发现，[1,n]中第k位总共1的个数就是：n/(k<<1) *(k<<1 /2 )。或者说：符合 x mod 2^k >=2^（k-1） 的 x 第k位就是1。

额，这个要自己去找规律。

要求[A~B]区间内各位上1的个数，只需要B1[i]-A1[i]就行。

同理，我们可以求出[C~D]区间上各位1的个数。

剩下的就是怎么求和了。

求和比较简单：

区间【A,B】第k位为1的个数乘以区间【C,D】第k位为0的个数+区间【A,B】第k位为0的个数乘以区间【C,D】第k位为1的个数）*2^(k-1)。

Time complexity: O(logn)

 

Source code: 

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-08-05-11.38
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
using namespace std;

void get1(LL n,LL arr[]) { /**< 求1~n所有数各个位上1的个数之和 */
     for(int i=1; i<32; ++i) arr[i]=0;
     for(LL i=1,f=2,b=1; b<=n; ++i,f<<=1,b<<=1) {
           arr[i]=(n/f)*(f/2); /**< 对于每一位,1~n可分为n/t组(t是每组的01数量)，其中每组有t/2个是1 */
           if(n%f>=b) arr[i]+=(n%f-b+1); /**< 加上余数部分 */
     }
}

int main() {
     ios_base::sync_with_stdio(false);
     cin.tie(0);
     LL n,t;
     cin>>t;
     while(t--) {
           LL A,B,C,D,Mod,a1[32],b1[32],c1[32],d1[32];
           cin>>A>>B>>C>>D>>Mod;
           get1(A-1,a1); get1(B,b1); get1(C-1,c1); get1(D,d1);
           LL ab1[32],ab0[32],cd1[32],cd0[32];
           for(int i=1; i<32; ++i) ab1[i]=b1[i]-a1[i],cd1[i]=d1[i]-c1[i];
           int l1=B-A+1,l2=D-C+1;
           for(int i=1; i<32; ++i) ab0[i]=l1-ab1[i],cd0[i]=l2-cd1[i];
           LL sum=0,base=1;
           for(int i=1; i<32; ++i)
                 sum=(sum+(base<<(i-1))%Mod*(ab0[i]%Mod *cd1[i]%Mod +ab1[i]%Mod*cd0[i]%Mod)%Mod)%Mod;
           cout<<sum<<endl;
     }
     return 0;
}
/*

*/