【题解】UVA11526 H(n)

不要脸地推销一波

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题意

根据题目给的代码，不难看出这是让我们求：

(sumlimits_{i=1}^{n}lfloor frac{n}{i} floor)

题解

整除分块模板题。

一看数据范围，发现用暴力肯定会超时。我们发现加数中有许多是相同的，并且这些加数单调不增（即相同加数必定在一起）。如果找出每段相同加数的长度，就能很快得到答案。

也就是说，如果对于一个 (i)，能找出最大的 (j) 使得 (lfloor frac{n}{i} floor=lfloorfrac{n}{j} floor)
，这一段的和即为 (lfloorfrac{n}{i} floor(j-i+1))。

根据向下取整的性质，可得 (lfloor frac{n}{i} floorlefrac{n}{j}<lfloor frac{n}{i} floor+1)；

将前一个不等式变形，得 (jle frac{n}{lfloor frac{n}{i} floor})；

由于 (j) 是正整数，可得 (jle lfloorfrac{n}{lfloor frac{n}{i} floor} floor)；

所以 (j) 最大为 (iglfloorfrac{n}{lfloor frac{n}{i} floor}ig floor)。

时间复杂度为 (mathcal{O}(sqrt n))。证明如下：

• 当 (1le ile sqrt n) 时：(i) 的取值有 (sqrt n) 种，所以此时 (lfloorfrac{n}{i} floor) 的取值最多有 (sqrt n) 种。

• 当 (sqrt n< ile n) 时：(1lelfloorfrac{n}{i} floorlesqrt n)，所以 (lfloorfrac{n}{i} floor) 的取值最多有 (sqrt n) 种。

也就是说，(lfloorfrac{n}{i} floor) 的取值最多有 (2sqrt n) 种，所以时间复杂度为 (mathcal{O}(sqrt n))。

(T) 组数据，时间复杂度 (mathcal{O}(Tsqrt n))

代码：

q = read();
for(; q; --q) {
	ans = 0;
	n = read();
	for(i = 1; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i);
		ans += (j - i + 1) * (n / i);
	}
	printf("%lld
", ans);
}