目录
- ds 优化
- 单调队列优化
- 斜率优化
- 决策单调性优化
1. ds 优化
考虑枚举右端点 (i)，求出 (sumlimits_{j=1}^if(j,i))。
假设我们维护了一个序列，(j) 位置存的是 ([j,i]) 的答案。
先预处理出 (lst_i)，表示 (i) 往左数第一个等于 (a_i) 的数的下标。
如果右端点从 (i-1) 变成 (i)，发现对于所有 (j~(lst_i+1<jle i))，它们的答案都要加 (1)。而对于 (j~(jle lst_i))，由于 (a_i) 已经在 (lst_i) 上出现过，答案不变。
本题还要求出平方和，用线段树维护即可。
枚举建几个基站，建 (t) 个基站的答案可以从 (t-1) 转移过来。
用 (f_i) 表示在第 (i) 给村庄建一个基站，已经考虑了 ([1,i-1]) 内的村庄的补偿，最少需要多少钱。
如果我们要求 (f_i)，维护一个线段树，(j) 位置表示上一个基站在 (j) 村庄时（即从 (j) 转移），(f_i) 的值。
预处理 (l_i,r_i) 表示坐标在 ([d_i-s_i,d_i+s_i]) 内的最左边和最右边的村庄。
(f_i) 是很好求的，只需要求个最小值。考虑如何更新这个序列。
如果有一个村庄 (k)，(r_k=i)，那么当我们求 (f_{i^prime}~(i^prime>i)) 时，如果从 (j~(j<l_k)) 转移，那么覆盖不到 (k)，需要支付 (w_k)。
用 vector 或前向星，在 (i) 位置存所有 (r_k=i) 的 (k)。每次求出 (f_i) 时，枚举这里面的 (k)，在 ([1,l_k-1]) 上加上 (w_k)。
求出所有 (f) 后，重建线段树，把 (f_i) 放到 (i) 位置上，用于求建 (t+1) 个基站的答案。
练习题
2. 单调队列
求 (f_i=minlimits_{d_ile jle i}{a_i})，其中 (d_i) 单调不减。
显然可以 st 表 (O(nlog n))，但有个 (d_i) 单调不减的性质没用上。
考虑维护一个队列，求 (f_i) 时，里面从小到大存了所有在 ([1,i-1]) 内的下标。
但这里面有很多元素是没有用的。
(forall j,kin[1,i-1],j<k)
-
若 (a_jge a_k)，考虑任意一个能被 (j) 更新到的 (i~(i>k))（即 (d_ile j)），必有 (d_ile j<k) 即 (k) 也能更新 (i)。而 (a_jge a_k)，(j) 并不优于 (k)，没必要存在于队列中。
-
若 (j<d_i)，(j) 无法更新 (i)，而随着 (i) 增大 (d_i) 不会减小，即 (d_i) 再也没有用了。
综上，这个队列应时刻满足：
- 下标递增
- (a_j) 递增
- 队首 (ge d_i)
求 (f_i) 时只需取出队首，因为它已经是最小的了。然后从队尾删除直到队尾的值 (<a_i)，插入 (i)。
容易发现每个元素最多进、出各一次，所以时间复杂度 (O(n))。
练习题
3. 斜率优化
对 (c) 做前缀和。设 (f_i) 表示以第 (i) 个玩具作为一个容器的最后一个玩具，前 (i) 个玩具的最小费用。
(f_i=minlimits_{1le j<i}{f_j+(j-i-1+c_i-c_j-L)^2})
若令 (L) 加 (1)，再令 (c_k) 加上 (k)，方程变成 (f_i=minlimits_{1le j<i}{f_j+(c_i-c_j-L)^2})
但它并不能用单调队列，因为展开后同时含有 (c_i imes c_j) 和 (c_j^2)。
考虑计算 (f_i) 时，选择 (j,k~(j<k)) 作为转移，如果 (j) 优于 (k)
(f_j+(c_i-c_j-L)^2<f_k+(c_i-c_k-L)^2)
(f_j+c_j^2-2c_ic_j-2c_jL<f_k+c_k^2-2c_ic_k-2c_kL)
((f_j+c_j^2-2c_jL)-(f_k+c_k^2-2c_kL)<2c_i(c_j-c_k))
(dfrac{(f_j+c_j^2-2c_jL)-(f_k+c_k^2-2c_kL)}{c_j-c_k}>2c_i)
对于第 (t) 个决策，在平面直角坐标系内找一点 (P_t(c_t,f_t+c_t^2-2c_tL))。用 (k_{j,k}) 表示 (P_j) 和 (P_k) 连成线段的斜率，令(K_i=2c_i)。那么对于 (i)，(j) 优于 (k) 当且仅当 (k_{j,k}>K_i)
仿照单调队列，我们维护一个队列，求 (f_i) 时，里面从小到大存了所有在 ([1,i-1]) 内的下标。
这里面有很多点是没有用的。
- (forall x_1,x_2,x_1<x_2,k_{x_1,x_2}le K_i)，此时 (x1) 不优于 (x_2)。因为 (c_i) 单调递增，(K_i) 也单调递增，对于 (i^prime~(i^prime>i))，(x1) 仍不优于 (x_2)。所以 (x_1) 是没用的。
- (forall x_1,x_2,x_3,x_1<x_2<x_3,k_{x_1,x_2}ge k_{x_2,x_3})，对于任意的 (i)，(k_{x_2,x_3}>K_i)，则 (x_2) 优于 (x_3)。而此时必有 (k_{x_1,x_2}>K_i)，即 (x_1) 优于 (x_2)。所以 (x_2) 是没用的。
所以我们要维护一个斜率递增的下凸壳，每次看队首和队首的后一个元素的斜率，若 (le K_i) 弹出队首。不断重复直到斜率大于 (K_i)，然后从队首转移到 (i)。不断弹出队尾直到队尾的前一个元素和队尾的斜率小于队尾和 (i) 的斜率。然后在队尾插入 (i)。
有些题目会出现不存在斜率的情况（即两点横坐标相同），此时要特判并返回 (infty) 或 (-infty)（视具体情况而定）。
刚刚我们解决了 (c_j) （即决策点横坐标）单调递增，(K_i) 也递增的情况。
但有些题目决策点横坐标单调递增，但 (K_i) 不一定。此时刚才的第一条性质不一定满足，我们就不能从队首删点。此时我们就要在队列里二分，找到第一个点，满足它和下一个元素的斜率大于（或小于，视题目而定）(K_i)，并把它作为决策点。
有些题目甚至决策点横坐标和 (K_i) 都不单调，此时就要用平衡树或 CDQ 分治。