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  • C语言程序设计100例之(12):Eratosthenes筛法求质数

    例12   Eratosthenes筛法求质数

    问题描述

    Eratosthenes筛法的基本思想是:把某范围内的自然数从小到大依次排列好。宣布1不是质数,把它去掉;然后从余下的数中取出最小的数,宣布它为质数,并去掉它的倍数。在第1步之后,得到质数2,筛中只包含奇数;第2步之后,得到质数3,一直做下去,当筛中为空时结束。

    用Eratosthenes筛法求给定区间内的所有质数。

    输入格式

    两个整数a和b,其中1≤a≤b≤10000

    输出格式

    输出给定范围[a,b]间的所有质数,输出时每个质数占6列,每行输出10个质数。

    输入样例

    100  200

    输出样例

    101  103  107  109  113  127  131  137  139  149 

    151  157  163  167  173  179  181  191  193  197

    199

            (1)编程思路。

            下面采用自顶向下逐步求精的方法解决这个问题。

    1)先写出程序的总体框架

    初始化,将所有的数都放在筛子中;

    k=2;

    while(k<=N)

    {

         用k将筛子中的数2*k、3*k、4*k …,一一筛去;

          从当前下标k的下一个开始找到下一个仍在筛子中的数,并赋值给k;

    }

    从2开始,将所有留在筛子中的数(即为质数)打印出来;

    2)筛子的构造

    为了表示一个筛子,并将给定范围N以内的数放入筛子中,可以定义一个一维数组

    int  prime[N+1];

    其中,元素prime[i]==1表示整数i在筛子中;prime[i]==0表示整数i不在筛子中。

    因此,初始化数组prime使所有的数都在筛子中,即使prime[2]~ prime[N]的值全部等于1。程序描述为:

         for (k=2; k<=N;k++)

                  prime[k]=1;

    3)用k将筛子中的数2*k、3*k、4*k …,一一筛去

    n=2;

    while(n*k<N)

    {

        prime[n*k]=0;

        n++;

     }

    4)从当前下标k的下一个开始找到下一个仍在筛子中的数,并赋值给k

    k++;

    while(prime[k]==0)

         k++;

    5)从a开始到b为止,将仍然在筛子中的数打印出来

    for (k=a; k<=b; k++)

    {

         if(prime[k])  printf(“%d  “,k);

    }

    (2)源程序。

    #include <stdio.h>

    #define N 100000

    int main()

    {

             int prime[N+1]={0,0},t,k,cnt,a,b;

             for (k=2; k<=N;k++)

                       prime[k]=1;

             k=2;

             while(k<=N)

             {

                       t=2;

                       while(t*k<=N)

                       {

                                prime[t*k]=0;

                                t++;

                       }

                       k++;

                       while(k<=N  && prime[k]==0)

                                k++;

             }

             scanf("%d%d",&a,&b);

             cnt=0;

             for (k=a;k<=b;k++)

            {

                if (prime[k]==1)

               {

                     cnt++;

                    printf("%6d",k);

                     if (cnt%10==0)  printf(" ");

              }

         }

        printf(" ");

        return 0;

    }

    习题12

    12-1  质因子分解

            本题选自洛谷题库 (https://www.luogu.org/problem/P2043)

    题目描述

    对N!进行质因子分解。

    输入格式

    输入数据仅有一行包含一个正整数N,N<=10000。

    输出格式

    输出数据包含若干行,每行两个正整数p,a,中间用一个空格隔开。表示N!包含a个质因子p,要求按p的值从小到大输出。

    输入样例

    10

    输出样例

    2 8

    3 4

    5 2

    7 1

    说明/提示

    10!=3628800=(2^8)*(3^4)*(5^2)*7

     (1)编程思路。

    先看如何求n!中质因子k的个数。以求10!质因子2的个数为例说明。

    设先将1~10共10个数排成一行得到序列1。且设保存2的因子个数的变量cnt的初值为0。

        序列1:     1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

    在序列1中,只有2、4、…、10 共 10/2=5个数中至少含有一个2的因子。故cnt=cnt+n/2=0+5=5。

        将序列1中的每个数除以2,只保留得到的整数,可排成序列2。(对应操作为n=n/2)

        序列2:                 1  2  3  4   5

      对应序列1的数为:2  4  6   8  10

        在序列2中,有5个数,只有5/2=2个数含有因子2,即原序列中有2个数(4,8)至少含有两个因子2。  cnt=cnt+n/2=5+5/2=7。

        再将序列2中的每个数除以2,只保留得到的整数,可排成序列3。(对应操作为n=n/2)

        序列3                  1   2    

    对应序列1的数为:4   8

    在序列3中,有2个数,只有2/2=1个数含有因子2,即原序列中有1个数(8)至少含有三个因子2。  cnt=cnt+n/2=7+2/2=8。

        再将序列3中的每个数除以2,只保留得到的整数,可排成序列4。(对应操作为n=n/2)

        此时,序列4中不再有数能被2整除,即原序列中没有数含有4个2的因子。

           cnt=cnt+n/2=8+1/5=8。  

        至此,求得10!含有质因子2的个数为8。

    按上述过程,将求n!中质因子k的个数写成一个简单的循环即可。

            cnt=0;

            while (n!=0)

            {

                cnt+=n/k;

                n/=k;

            }

    定义数组int prime[1250]保存所有小于10000的质数,如prime[0]=2,prime[1]=3, prime[2]=5,…。用筛法求出各质数并保存在prime数组中。

    定义数组int num[1250],其中num[i]保存n!中质因子prime[i]的个数,num数组的全部元素的初始值置为0。

    程序中按前面介绍的求n!中质因子k的个数的方法,用循环依次求取小于或等于n的质数prime[i]的个数num[i]。

     (2)源程序。

    #include <stdio.h>

    #define N 10000

    int main()

    {

        int t,k,i,n,cnt;

             int flag[N+1]={0,0};

             int prime[1250],num[1250]={0};

             for (k=2; k<=N;k++)

                       flag[k]=1;

             k=2; cnt=0;

             while(k<=N)

             {

                       t=2;  prime[cnt++]=k;

                       while(t*k<=N)

                       {

                                flag[t*k]=0;

                                t++;

                       }

                      k++;

                     while(k<=N && flag[k]==0)

                           k++;

             }

             scanf("%d",&n);

             for (i=0;i<cnt;i++)

            {

                  if (prime[i]>n) break;

                  t=n;

                 while (t!=0)

                {

                      num[i]+=t/prime[i];

                      t/=prime[i];

               }

        }

        for (k=0;k<i;k++)

           printf("%d %d ",prime[k],num[k]);

       return 0;

    }

    12-2  Prime Gap

            本题选自北大POJ题库 (http://poj.org/problem?id=3518)

    Description

    The sequence of n − 1 consecutive composite numbers (positive integers that are not prime and not equal to 1) lying between two successive prime numbers p and p + n is called a prime gap of length n. For example, ‹24, 25, 26, 27, 28› between 23 and 29 is a prime gap of length 6.

    Your mission is to write a program to calculate, for a given positive integer k, the length of the prime gap that contains k. For convenience, the length is considered 0 in case no prime gap contains k.

    Input

    The input is a sequence of lines each of which contains a single positive integer. Each positive integer is greater than 1 and less than or equal to the 100000th prime number, which is 1299709. The end of the input is indicated by a line containing a single zero.

    Output

    The output should be composed of lines each of which contains a single non-negative integer. It is the length of the prime gap that contains the corresponding positive integer in the input if it is a composite number, or 0 otherwise. No other characters should occur in the output.

    Sample Input

    10

    11

    27

    2

    492170

    0

    Sample Output

    4

    0

    6

    0

    114

            (1)编程思路。

            题目的意思是:两个连续质数a和b之间的区间称为非质数区间。求n所在非质数区间的长度。例如,23和29是两个连续的质数,23和29之间的区间就是一个非质数区间,这个区间的长度为6,整数27在这个区间中,因此27所在非质数区间的长度为6。

            定义数组int prime[maxn],元素prime[i]的值为0表示整数i是质数(在筛子中,没有被筛掉),prime[i]的值为1表示整数i是不是质数(不在筛子中,已经被筛掉了)。

            初始时prime的数组元素初值全为0,表示给定范围的每个整数都在筛子中。用筛法将所有的非质数全筛掉。

            为求取n所在非质数区间的长度。若n本身是一个质数,则其所在非质数区间的长度记为0。

             若n不是一个质数,可用循环 for (left=n-1; prime[left]==1;  left--);求得比n小的最大质数left;用循环for (right=n+1;prime[right]==1; right++);求得比n大的最小质数right。则n一定在连续质数left和right之间的非质数区间,区间长度为right-left。

            (2)源程序。

    #include <stdio.h>

    #define maxn 1399710

    int prime[maxn]={0};

    int main()

    {

        int i,j,n,left,right;   

        for(i=2;i<maxn;i++)

        {

            if(prime[i]==0)

            {

                for (j=i*2;j<maxn;j+=i)

                  prime[j]=1;

            }

        }

        while (scanf("%d",&n) && n!=0)

        {

            if(prime[n]==0)

            {

                printf("0 ");

                continue;

            }

            else

            {

                  for (left=n-1; prime[left]==1;  left--);

                  for (right=n+1;prime[right]==1; right++);

                  printf("%d ",right-left);

              }

        }

        return 0;

    }

    12-3  Largest prime factor

            本题选自杭州电子科技大学OJ题库 (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2136)

    Problem Description

    Everybody knows any number can be combined by the prime number.

    Now, your task is telling me what position of the largest prime factor.

    The position of prime 2 is 1, prime 3 is 2, and prime 5 is 3, etc.

    Specially, LPF(1) = 0.

    Input

    Each line will contain one integer n(0 < n < 1000000).

    Output

    Output the LPF(n).

    Sample Input

    1

    2

    3

    4

    5

    Sample Output

    0

    1

    2

    1

    3

            (1)编程思路。

    本题题意是:求一个整数n的最大质因子在质数表中排第几。比如,9的最大质因子是3,3在质数表中排第2;5的最大质因子为5,在质数表中排第3。

    定义数组int rank[N],元素prime[i]的值表示整数i的最大质因子在质数表中排第几。

    初始时rank的数组元素初值全为0,表示尚未确定每个数的最大质因子的排位值。同时,借助筛法的思想。rank的数组元素初值全为0,表示给定范围(1~N)的每个整数都在筛子中。

    在前面介绍的筛法中,我们只是简单置数组元素值为0或为1,表示在或不在筛子中,本题中rank数组元素值除了表示在或不在筛子中的含义外,非0的元素值还表示最大质因子在质数表中的排位值。为此,修改的筛法执行过程描述如下:

    1)初始时,令i=2,cnt=1,表示最小的质数为2,其排位值为1。

    2)2<=N,rank[2]=0,cnt=1表示2是排位为1的质数。同时修改rank[2]、rank[4]、rank[6]、rank[8]、rank[10]……等元素的值为1(当前cnt=1),这个修改既表示将2的倍数的数从筛子中筛掉,同时表示这些2的倍数的数当前确定的最大质因子的排位号为1。 cnt++表示下一个质数的排位值为2。

    3)i++,i=3,此时rank[3]=0表示3在筛子中,3是质数,cnt=2,表示3是排位值为2的质数。同时修改rank[3]、rank[6]、rank[9]、rank[12]、rank[15]……等元素的值为2(当前cnt=2),这个修改既表示将3的倍数的数从筛子中筛掉,同时表示这些3的倍数的数当前能确定的最大质因子的排位号为2。 cnt++表示下一个质数的排位值为3。

    4)i++,i=4,rank[4]=1不为0,表示4不在筛子中,4不是质数,能确定它的最大质因子的排位值为1。不处理,直接跳过。

    5)i++,i=5,此时rank[5]=0表示5在筛子中,5是质数,cnt=3,表示5是排位值为3的质数。同时修改rank[5]、rank[10]、rank[15]、rank[20]、rank[25]……等元素的值为3(当前cnt=3),这个修改既表示将5的倍数的数从筛子中筛掉,同时表示这些5的倍数的数当前能确定的最大质因子的排位号为3。 cnt++表示下一个质数的排位值为4。

    ……

    重复上面的过程,直到i>N。此时1~N范围内所有整数的最大质因子在质数表中的排位值都确定了,且保存在数组rank的相应元素中。

    (2)源程序。

    #include <stdio.h>

    #define N 1000000

    int rank[N+1]={0};

    int main()

    {

        int i,j,n,cnt=1;

        for (i=2;i<=N;i++)

        {

            if(rank[i]!=0) continue;

            for (j=i;j<=N;j+=i)

               rank[j]=cnt;

            cnt++;

        }

        while (scanf("%d",&n)!=EOF)

             printf("%d ",rank[n]);

        return 0;

    }

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