例24 数制转换
题目描述
请你编一程序实现两种不同进制之间的数据转换。
输入格式
共三行，第一行是一个正整数，表示需要转换的数的进制n(2≤n≤16)，第二行是一个n进制数，若n>10则用大写字母A-F表示数码10-15，并且该n进制数对应的十进制的值不超过1000000000，第三行也是一个正整数，表示转换之后的数的进制m(2≤m≤16)。
输出格式
一个正整数，表示转换之后的m进制数。
输入样例
16
FF
2
输出样例
11111111
（1）编程思路。
十进制整数转换为R进制整数的基本方法是：“除R取余”。具体做法为：对于十进制数整数，用R连续除要转换的十进制整数及各次所得之商，直除到商等于0时为止，则各次所得之余数即为所求R进制整数由低位到高位的值。这个过程可以写成一个简单的循环。
一般而言，对于任意的R进制数 An-1An-2…A1A0可以表示为以下和式：
An-1×Rn-1 +…+A1×R1+A0×R0 (其中R为基数)
这个和式也称为“按权展开式”。
R进制数转换为十进制数的基本方法是将R进制数的各位按权展开相加即可。
本例的思路是：将输入的n进制整数按权值展开后转换为十进制整数，再将所得的十进制整数采用“除m取余”转换为m进制整数即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
char table[17]="0123456789ABCDEF";
int n,m;
char s[33];
scanf("%d",&n);
scanf("%s",s);
scanf("%d",&m);
int num=0;
for (int i=0;s[i]!=' ';i++) // n进制整数按权值展开后转换为十进制整数num
{
if (s[i]>='0' && s[i]<='9')
num=num*n+s[i]-'0';
else
num=num*n+s[i]-'A'+10;
}
int digit[32],cnt=0;
do { // 十进制整数采用“除m取余”转换为m进制整数
digit[cnt++]=num%m;
num=num/m;
} while (num!=0);
for (int i=cnt-1;i>=0;i--)
printf("%c",table[digit[i]]);
printf(" ");
return 0;
}
习题24
24-1 高低位交换
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1100）。
题目描述
给出一个小于232的正整数。这个数可以用一个32位的二进制数表示（不足32位用0补足）。我们称这个二进制数的前16位为“高位”，后16位为“低位”。将它的高低位交换，我们可以得到一个新的数。试问这个新的数是多少（用十进制表示）。
例如，数1314520用二进制表示为00000000000101000000111011011000（添加了11个前导0补足为32位），其中前16位为高位，即0000000000010100；后16位为低位，即0000111011011000。将它的高低位进行交换，我们得到了一个新的二进制数00001110110110000000000000010100。它即是十进制的249036820。
输入格式
一个小于232的正整数。
输出格式
将新的数输出
输入样例
1314520
输出样例
249036820
（1）编程思路。
将输入的十进制整数采用“除2取余”转换为二进制整数，再将所得的二进制整数依照低16位在前高16位在后的方式按权值展开后转换为十进制整数即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
unsigned int num;
scanf("%d",&num);
int digit[32]={0},cnt=0;
do { // 十进制整数采用“除2取余”转换为二进制整数
digit[cnt++]=num%2;
num=num/2;
} while (num!=0);
int i;
for (i=15;i>=0;i--) // 先将低16位按权值展开
num=num*2+digit[i];
for (i=31;i>=16;i--) // 再将高16位按权值展开
num=num*2+digit[i];
printf("%u ",num);
return 0;
}
24-2 进制转换
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1017）。
题目描述
一般说来,任何一个正整数R或一个负整数-R都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以R或-R为基数,则需要用到的数码为 0,1,....R-1。例如,当R=7时，所需用到的数码是0,1,2,3,4,5和6，这与其是R或-R无关。如果作为基数的数绝对值超过10，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于9的数码。例如对16进制数来说，用A表示10，用B表示11，用C表示12，用D表示13，用E表示14，用F表示15。
在负进制数中是用-R作为基数,例如-15 (十进制)相当于110001 (-2进制)，并且它可以被表示为2的幂级数的和数:
110001=1×(−2)5 +1×(−2)4 +0×(−2)3 +0×(−2)2 +0×(−2)1 +1×(−2)0。
设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负进制下的数:-R∈{-2,-3,-4,...,-20}
输入格式
输入包括多组测试数据。
每组测试数据占一行，每行有两个输入数据。
第一个是十进制数N (−32768≤N≤32767)
第二个是负进制数的基数-R。
输出格式
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出此负进制数及其基数，若此基数超过10，则参照16进制的方式处理。
输入样例
30000 -2
-20000 -2
28800 -16
-25000 -16
输出样例
30000=11011010101110000(base-2)
-20000=1111011000100000(base-2)
28800=19180(base-16)
-25000=7FB8(base-16)
（1）编程思路。
我们知道十进制整数是采用“除R取余”转换为R进制整数的，对于负基数（-R）同样如此。
先看问题描述中的例子-15转换为-2进制数。在C语言中“除R取余”运算过程为：
|
被除数 |
除数 |
商 |
余数 |
|
-15 |
-2 |
7 |
-1 |
|
7 |
-2 |
-3 |
1 |
|
-3 |
-2 |
1 |
-1 |
|
1 |
-2 |
0 |
1 |
这里余数出现了负数，需要将余数转换成正数，怎么处理呢？
因为， 被除数=商*除数+余数=商*除数+除数+余数-除数=（商+1）*除数+（余数-除数）。因此，若余数为负时，只需要将商+1，余数-除数，就可以将余数转换为正数。
|
被除数 |
除数 |
商 |
余数 |
校正的商 |
校正余数 |
|
-15 |
-2 |
7 |
-1 |
8 |
1 |
|
8 |
-2 |
-4 |
0 |
|
|
|
-4 |
-2 |
2 |
0 |
|
|
|
2 |
-2 |
-1 |
0 |
|
|
|
-1 |
-2 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
|
1 |
-2 |
0 |
1 |
|
|
因此，-15转换为-2进制数为110001。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int main()
{
char table[21]="0123456789ABCDEFGHIJ";
int num,r;
while (scanf("%d%d",&num,&r)!=EOF)
{
printf("%d=",num);
int digit[32]={0},cnt=0;
do {
int t=num%r;
num=num/r;
if (t<0) {t=t-r; num++; }
digit[cnt++]=t;
} while (num!=0);
int i;
for (i=cnt-1;i>=0;i--)
printf("%c",table[digit[i]]);
printf("(base%d) ",r);
}
return 0;
}
24-3 彩灯和按钮
问题描述
有一个机器，它有 m(2≤m≤30) 个彩灯和一个按钮。每按下按钮时，最右边的彩灯会发生一次变换。变换为：①如果当前状态为红色，它将变成绿色；②如果当前状态为绿色，它将变成蓝色；③如果当前状态为蓝色，它将变成红色，并且它左边的彩灯（如果存在）也会发生一次变换。初始状态下所有的彩灯都是红色的。
输入格式
输入包括多组测试，第1行给出正整数T(1≤T≤15)，表示测试数据的组数。
每组测试数据包括两个整数m(2≤m≤30) 和 n(1≤n<263)，分别表示彩灯的个数和按钮被按下的次数。
输出格式
对每组测试数据，按从左到右的顺序输出各彩灯的颜色状态，R 表示红色，G表示绿色，B 表示蓝色。
输入样例
2
3 1
2 3
输出样例
RRG
GR
（1）编程思路。
每按一次按钮都是从最右边的彩灯开始变换，将m个彩灯可以看成一个m位数，最右边的彩灯为其个位数，每按一次按钮可以看成个位数加1。每按三次后从右数第二个彩灯才会变一下，每按9次从右边数第三个彩灯会变换一次，……。
显然，m个彩灯表示的m位数可以看成是一个三进制数，红灯表示0，绿灯表示1，蓝灯表示2，将输入的n转换为3进制数即可。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
char table[4]="RGB";
int t, m, len;
long long n;
int color[30];
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
memset(color, 0, sizeof(color));
scanf("%d%lld", &m, &n);
len = m;
while (n > 0 && m > 0)
{
color[--m] = n % 3;
n /= 3;
}
for (int i=0; i<len; i++)
putchar(table[color[i]]);
putchar(' ');
}
return 0;
}