例31 全排列问题
题目描述
输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。
输入格式
n(1≤n≤9)
输出格式
由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。序列中每个数字占5个宽度。
输入样例
3
输出样例
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
（1）编程思路。
采用递归的方法来生成全排列。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int a[9],flag[10]={0};
void dfs(int pos,int n)
{
if (pos==n) // 已有n个数
{
for (int i=0;i<n;i++)
printf("%5d",a[i]);
printf(" ");
}
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(flag[i])
continue;
a[pos]=i;
flag[i]=1;
dfs(pos+1,n);
flag[i]=0;
}
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
dfs(0,n);
return 0;
}
习题31
31-1 选书
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P1657）
题目描述
学校放寒假时，信息学奥赛辅导老师有1,2,3……x本书，要分给参加培训的x个人，每人只能选一本书，但是每人有两本喜欢的书。老师事先让每个人将自己喜欢的书填写在一张表上。然后根据他们填写的表来分配书本，希望设计一个程序帮助老师求出所有可能的分配方案，使每个学生都满意。
输入格式
第1行：一个数x
第2行~第1+x行：每行两个数，表示ai喜欢的书的序号
输出格式
只有一个数：总方案数total。
输入样例
5
1 3
4 5
2 5
1 4
3 5
输出样例
2
（1）编程思路。
编写递归函数void dfs(int i,int n)表示第i个人在n本书中选择一本书。若第j本书（1≤j≤n）没选（标记数组元素f[j]=1）且第i个人喜欢这本书（数组元素a[i][j]的值也为1），则
第i个人选择第j本书；之后第i+1个人进行选择，递归调用dfs(i+1,n)。若n个人均选择好，则计数。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int a[21][21],f[21],cnt; // a[i][j]第i个人喜欢第j本书
void dfs(int i,int n)
{
int j;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(f[j] && a[i][j]) // 这本书没选且第i个人喜欢这本书
{
f[j]=0;
if(i==n)
{
cnt++;
}
else
{
dfs(i+1,n);
}
f[j]=1;
}
}
}
int main()
{
int n,i,x,y;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
a[i][x]=1;
a[i][y]=1;
f[i]=1;
}
dfs(1,n);
printf("%d ",cnt);
return 0;
}
31-2 差三角形
问题描述
观察下面的数字组成的三角形：
3
1 4
5 6 2
看出什么特征吗？
1）它包含了1~6的连续整数。
2）每个数字都是其下方相邻的两个数字的差（当然是大数减去小数）
满足这样特征的三角形，称为差三角形。
编写程序，找出由1~n*(n+1)/2共n*(n+1)/2个整数组成的一个差三角形。
输入格式
一个正整数n。n≤6
输出格式
输出所有满足要求的差三角形。输出时，每个数字占4列。每种解之间空一行。
当无解的时候，请什么也不输出。
输入样例
4
输出样例
4
3
4 7
5 9 2
6 1 10 8
3
5 2
4 9 7
6 10 1 8
4
2 6
5 7 1
8 3 10 9
4
5 1
2 7 6
8 10 3 9
（1）编程思路。
先确定最后一行的值，即在1~ n*(n+1)/2这n*(n+1)/2个数中任意选取n个元素进行全排列。之后，按差三角形的特征依次确定上面其它行的值。在确定值的过程中，若某个值已被使用，则不可能是问题的解。直接剪枝，进行下次搜索。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
void judge(int take[],int n)
{
int visited[22]; // 最多6行，21个数
int num[6][6],i,j,x;
for (i=1;i<=n*(n+1)/2;i++)
visited[i]=0;
for(i = 0; i < n; i++)
{
num[n-1][i]=take[i];
visited[take[i]] = 1;
}
for (i=n-2; i>=0; i--)
for (j = 0; j <= i; j++)
{
x = abs(num[i+1][j] - num[i+1][j+1]);
if(visited[x])
return;
if(x>=1 && x<= n*(n+1)/2)
{
visited[x] = 1;
num[i][j] = x;
}
}
if (num[n-1][0]>num[n-1][n-1]) return ;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for(j = 0; j<=i; j++)
printf("%4d",num[i][j]);
printf(" ");
}
printf(" ");
}
void dfs(int take[], int index,int vis[],int n)
{
int i, j;
if (index==n)
{
judge(take,n);
return;
}
for(i = 1; i <= n*(n+1)/2; i++)
{
if(!vis[i])
{
vis[i] = 1;
take[index]= i;
dfs(take, index+1,vis,n);
vis[i] = 0;
}
}
}
int main()
{
int n,take[6],i;
int vis[22];
scanf("%d",&n);
for(i = 1; i <= n*(n+1)/2; i++)
vis[i]=0;
dfs(take,0,vis,n);
return 0;
}
31-3 数字和
问题描述
写出一个1至n的排列a1,a2,…,an，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子：
3 ,1,2,4
4,3,6
7,9
16
最后得到16这样一个数字。
如果知道n和最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a1,a2,…,an，这个序列为1至n的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。
注意：本题字典序指的是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，而不是1,10,11,12,2,3,4,5,6,7,8,9。
输入格式
两个正整数n,sum。n≤12,sum≤12345。
输出格式
输出包括1行，为字典序最小的那个答案。
当无解的时候，请什么也不输出。
输入样例
4 16
输出样例
3 1 2 4
（1）编程思路。
以题目示例来说明。4个数a1、a2、a3、a4
第1次得到： a1+a2、a2+a3、a3+a4
第2次得到：a1+a2+a2+a3、a2+a3+a3+a4
第3次得到：(a1+a2+a2+a3)+(a2+a3+a3+a4)
即最后总和为：a1+3*a2+3*a3+a4
系数1、3、3、1正好四杨辉三角形的第4行的值。因此，需要先求出杨辉三角形第n行的值，以便于最后总和的计算。
生成1~n的全排列，对生成的排列进行判断，看是否满足和值等于输入的sum，如果找到的答案，置标记found为1，之后各排列直接返回。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
int a[12],flag[13]={0},y[13]={0};
int n,sum,found=0;
void dfs(int pos,int cursum)
{
if (cursum>sum|| found==1) return;
if (pos==n)
{
if (cursum==sum)
{
for (int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
printf(" ");
found=1;
}
}
else
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(flag[i])
continue;
a[pos]=i;
flag[i]=1;
dfs(pos+1,cursum+a[pos]*y[pos]);
flag[i]=0;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&sum);
y[0]=1;
for (int row=1;row<n;row++)
for (int col=row;col>=1;col--)
y[col]=y[col]+y[col -1];
dfs(0,0);
return 0;
}