在“JavaScript图形实例：SierPinski三角形”中，我们介绍了SierPinski三角形的基本绘制方法，在“JavaScript图形实例：迭代函数系统生成图形”一文中，介绍了采用IFS方法生成SierPinski三角形的方法。下面再介绍两种SierPinski三角形的构造方法，以扩展知识面。
1．随机点法
采用随机点的方法可以得到SierPinski三角形。具体过程为：
（1）任意取平面上三点A、B、C，组成一个三角形，并任意取三角形ABC内的一点P；
（2）求出P和A、B、C三个顶点中任意一个顶点的中点P1；
（3）描出该中点P1；
（4）将P1作为新的P点，转步骤（2），直到描出的点数达到规定要求（如10000个点）。
按上述思想，编写如下的HTML文件。在编程时，为简单计，不保证初始的P点一定在三角形ABC内（有可能在三角形外会描出几个散点，但不影响最后结果），也没有判断A、B、C三点可能共线的情况（此时无法构成三角形）。有兴趣的读者可以自行处理这两种情况，以完善代码。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>随机SierPinski三角形</title>
</head>
<body>
<canvas id="myCanvas" width="300" height="300" style="border:3px double #996633;">
</canvas>
<script type="text/javascript">
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
var ctx=canvas.getContext('2d');
function draw()
{
ctx.fillStyle="#EEEEFF";
ctx.fillRect(0,0,300,300);
ctx.fillStyle="red";
ctx.font="32px";
var ax=Math.floor(Math.random()*200+50);
var ay=Math.floor(Math.random()*200+50);
var bx=Math.floor(Math.random()*200+50);
var by=Math.floor(Math.random()*200+50);
var cx=Math.floor(Math.random()*200+50);
var cy=Math.floor(Math.random()*200+50);
var px=Math.floor(Math.random()*200+50);
var py=Math.floor(Math.random()*200+50);
var dx=0;
var dy=0;
for (i=0; i<10000; i++)
{
index =Math.floor(Math.random()*3+1);
if (index==1)
{
dx = (ax + px)/2;
dy = (ay + py)/2;
}
else if (index == 2)
{
dx = (bx + px)/2;
dy = (by + py)/2;
}
else
{
dx = (cx + px)/2;
dy = (cy + py)/2;
}
ctx.fillText('.',dx,dy);
px = dx;
py = dy;
}
}
draw();
</script>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出一个SierPinski三角形，如图1所示。
图1 SierPinski三角形
将程序中的调用语句“draw()”改写为“window.setInterval('draw()', 1500);”，则在浏览器窗口中会每隔1.5秒绘制一个随机SierPinski三角形，如图2所示。
图2 每隔1.5秒绘制一个随机SierPinski三角形
由图2可以看出，有些三角形太小，甚至有些成一条直线，因此，可以改写上面的程序，要求随机取点A、B、C时，保证三个边长均大于100，且三点不共线。改写的HTML文件内容如下。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>随机SierPinski三角形</title>
</head>
<body>
<canvas id="myCanvas" width="300" height="300" style="border:3px double #996633;">
</canvas>
<script type="text/javascript">
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
var ctx=canvas.getContext('2d');
function draw()
{
ctx.fillStyle="#EEEEFF";
ctx.fillRect(0,0,300,300);
ctx.fillStyle="red";
ctx.font="32px";
while (1)
{
var ax=Math.floor(Math.random()*200+50);
var ay=Math.floor(Math.random()*200+50);
var bx=Math.floor(Math.random()*200+50);
var by=Math.floor(Math.random()*200+50);
var cx=Math.floor(Math.random()*200+50);
var cy=Math.floor(Math.random()*200+50);
ab=Math.sqrt((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay));
ac=Math.sqrt((cx-ax)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-ay));
bc=Math.sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by));
if (ab<100 || ac<100 || bc<100) continue;
if (ab+bc==ac || ab+ac==bc || ac+bc==ab) continue;
var px=Math.floor(Math.random()*200+50);
var py=Math.floor(Math.random()*200+50);
break;
}
var dx=0;
var dy=0;
for (i=0; i<10000; i++)
{
index =Math.floor(Math.random()*3+1);
if (index==1)
{
dx = (ax + px)/2;
dy = (ay + py)/2;
}
else if (index == 2)
{
dx = (bx + px)/2;
dy = (by + py)/2;
}
else
{
dx = (cx + px)/2;
dy = (cy + py)/2;
}
ctx.fillText('.',dx,dy);
px = dx;
py = dy;
}
}
window.setInterval('draw()', 1500);
</script>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段改写后的HTML代码的html文件，在浏览器窗口中也会每隔1.5秒绘制一个随机SierPinski三角形，如图3所示，此时每个随机SierPinski三角形的最小边长均会超过100，三角形不会显得较小。
图3 每隔1.5秒绘制一个较大的随机SierPinski三角形
上面程序中随机点法构造SierPinski三角形是描点10000个得到的。为展示描点过程，编写如下的HTML文件。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>随机SierPinski三角形</title>
</head>
<body>
<canvas id="myCanvas" width="400" height="400" style="border:3px double #996633;">
</canvas>
<script type="text/javascript">
var canvas=document.getElementById('myCanvas');
var ctx=canvas.getContext('2d');
ctx.fillStyle="#EEEEFF";
ctx.fillRect(0,0,400,400);
ctx.fillStyle="red";
ctx.font="32px";
while (1)
{
var ax=Math.floor(Math.random()*400);
var ay=Math.floor(Math.random()*400);
var bx=Math.floor(Math.random()*400);
var by=Math.floor(Math.random()*400);
var cx=Math.floor(Math.random()*400);
var cy=Math.floor(Math.random()*400);
ab=Math.sqrt((bx-ax)*(bx-ax)+(by-ay)*(by-ay));
ac=Math.sqrt((cx-ax)*(cx-ax)+(cy-ay)*(cy-ay));
bc=Math.sqrt((cx-bx)*(cx-bx)+(cy-by)*(cy-by));
if (ab<200 || ac<200 || bc<200) continue;
if (ab+bc==ac || ab+ac==bc || ac+bc==ab) continue;
var px=Math.floor(Math.random()*400);
var py=Math.floor(Math.random()*400);
break;
}
var i=0;
function draw()
{
index =Math.floor(Math.random()*3+1);
if (index==1)
{
dx = (ax + px)/2;
dy = (ay + py)/2;
}
else if (index == 2)
{
dx = (bx + px)/2;
dy = (by + py)/2;
}
else
{
dx = (cx + px)/2;
dy = (cy + py)/2;
}
ctx.fillText('.',dx,dy);
px = dx;
py = dy;
i++;
if (i>=10000)
{
ctx.fillStyle="#EEEEFF";
ctx.fillRect(0,0,400,400);
ctx.fillStyle="red";
i=0;
}
}
window.setInterval('draw()',1);
</script>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，在浏览器窗口中呈现出一个随机SierPinski三角形的喷出过程，如图4所示。
图4 随机SierPinski三角形的喷出过程
2．按组合数的奇偶性直接描点构造SierPinski三角形
设有如下的杨辉三角形，若将杨辉三角形的奇数处画圆点，偶数处留空，则会得到SierPinski三角形。
由于杨辉三角中第i行第j列的数字正是组合数C（i,j）的结果。因此，对杨辉三角形中各行各列数字的讨论转化为对组合数C(n,m)的讨论。
组合数的奇偶性判定方法为:
对于C(n,m)，若n&m == m 则C(n,m)为奇数，否则为偶数。
根据这个结论，直接编写如下的HTML文件。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>按组合数奇偶性构造SierPinski三角形</title>
<script type="text/javascript">
function draw(id)
{
var canvas=document.getElementById(id);
if (canvas==null)
return false;
var ctx=canvas.getContext('2d');
ctx.fillStyle="#EEEEFF";
ctx.fillRect(0,0,300,300);
ctx.fillStyle="red";
for (i=0;i<256;i++)
{
for (j=0;j<=i;j++)
if ((i&j)==j)
ctx.fillText('.',j+30,i+30);
}
}
</script>
</head>
<body onload="draw('myCanvas');">
<canvas id="myCanvas" width="300" height="300" style="border:3px double #996633;">
</canvas>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出如图5所示的SierPinski三角形。
图5 SierPinski三角形