49.分治算法练习： 1497 取余运算

 时间限制: 1 s

 空间限制: 128000 KB

 题目等级 : 钻石 Diamond

题解

 查看运行结果

题目描述 Description

输入b，p，k的值，编程计算b^p mod k的值。其中的b，p，k*k为长整型数(2^31范围内）。

输入描述 Input Description

b p k 

输出描述 Output Description

输出b^p mod k=?

=左右没有空格

样例输入 Sample Input

2  10  9

样例输出 Sample Output

2^10 mod 9=7

数据范围及提示 Data Size & Hint

分类标签 Tags 点此展开 

分治 快速幂 数论

w        分析：本题主要的难点在于数据规模很大（b，p都是长整型数），对于b^p显然不能死算，那样的话时间复杂度和编程复杂度都很大。

w               下面先介绍一个原理：A*B%K = (A%K )*(B% K )%K。显然有了这个原理，就可以把较大的幂分解成较小的，因而免去高精度计算等复杂过程。那么怎样分解最有效呢？

显然对于任何一个自然数P，有P= P/2* 2  + P%2，如19=2 * 19/2 + 19%2=2*9+1，利用上述原理就可以把B的19次方除以K的余数转换为求B的9次方除以K的余数，即B19=B2*9+1=B*B9*B9，再进一步分解下去就不难求得整个问题的解

代码：

#include

using namespace std;

#include

long long f(long long );

long long b,k;

int main()

{

       long long p;

       cin>>b>>p>>k;

       cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"=";//输出的格式

       b%=k;//不能放在前面，那么b的只就不对了

       b=f(p);

       cout<<b;

       return 0;

}

long long f(long long p)

{

       if(p==0) return 1;//b^0%k==1,这是递归的边界

       long long tmp=f(p/2)%k;

       tmp=tmp*tmp%k;

       if(p%2==1) tmp=(tmp*b)%k;//因为在main已经有了b%=k了，所以这里乘以b不用再%k了

       return tmp;//tmp储存的是当前的b^p%k的值，传回上一层函数再平方

      

}

//2^10 mod 9=7