1算法简介

1.1 引言

算法是一组完成任务的指令。任何代码片段都可以视为算法

1.2 二分查找

使用二分查找时，每次都排除一半的数字。对于包含n个元素的列表，使用二分查找最多需要log₂N步，而简单查找最多需要n步.

查找方法	简单查找	二分查找
假设列表包含1024个元素，查找某个元素	最多查找1024次	最多查找8次。 log21024=8

幂运算和对数元算：对数运算是幂运算的逆运算。 幂运算：将x个a相乘的结果，求N。 N=a_x 对数运算：多少个a相乘等于N，求x。 x=log_aN 说明：仅当列表是有序的时候，二分查找才管用。 ### 1.2.1 示例代码 ```#python def binarySearch(list,item): """list为一个有序数组，item为查找的元素""" low = 0 high = len(list)-1 while(low<=high): mid = (int)((low+high)/2) guess = list[mid] # print(mid) if(guess == item): #猜中了 return mid if(guess > item): #猜的数字大了，从[low, mid-1]重新查找 high = mid -1 if(guess < item): #猜的数字小了，从[mid+1, high]重新查找 low = mid + 1 return None list1=[1,2,3,4,5,6] list2=[1,3,5,7,9] print(binarySearch(list1,1)) #0 print(binarySearch(list2,-3)) #None ```

1.2.2 运行时间

一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度的减少运行时间或占用空间。
线性时间：猜测的最多次数与列表长度相同。
对数时间：二分查找的运行时间为对数时间
假设列表包含1024个元素，查找某个元素

查找方法	查找次数	运行时间
简单查找	最多查找1024次	1024
二分查找	最多查找8次。 log21024=8	8

1.3 大O表示法

大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快。
大O表示法指出了最糟情况下的运行时间。

1.3.1 算法的运行时间以不同的速度增加

假设查找一个元素用时1毫秒，查看不同长度的数组使用简单查找和二分查找运行时间

查找方法	100个元素	1万个元素（与100相比）	1千万个元素（与100相比）	10亿个元素（与100相比）
简单查找	100毫秒	10000毫秒（100倍）	1000万毫秒（10万倍）	10亿毫秒（1000万倍）
二分查找	7	14（用时2倍）	24（用时3倍多）	30（用时4倍多）

从表中可以看出，随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。因此随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。 因此仅知道算法需要多长时间才能执行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。 大O表示发指出了算法有多快。查找一个列表，简单查找用时O(n)，二分查找用时O(log₂n)

1.3.2 理解不同的大O运行时间

在一张纸上绘制16个格子。
方法1：1次画一个格子，需要16步。运行时间O(n)
方法2：将纸横向对折，再对折；摊平，纵向对折，再对折，需要4步，运行时间O(log₂n)

1.3.3 一些常见的大O运行时间

从快到慢的顺序列出了经常会遇到的5种大O运行时间

• O(log n)：对数时间，这样的算法包括二分查找
• O(n)：线性时间，这样的算法包括简单查找
• O(n*long n)：这样的算法包括快速排序——一种速度较快的排序算法
• O(n²)：这样的算法包括选择排序——一种速度较慢的排序算法
• O(n!)：这样的算法包括旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法

启示：

• 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速
• 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加
• 算法的运行时间用大O表示发表示
• o(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快的越多

1.3.4 旅行商

有一位旅行商，他需要前往5个城市，同时确保旅程最短。
对于每种顺序，他都计算总旅程，在挑选出旅程最短的路线。

• 5个城市有120种不同的排列方式。
• 6个城市有720种不同的排列方式。
• 7个城市有5040种不同的排列方式。

推而广之，设计n个城市时，需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果。因此运行时间为O(n!)，即阶乘时间。这是计算机科学领域待解决的问题，对于这个问题，目前还没有找到更快的算法。

1.4 小结

• 二分查找的速度比简单查找快得多。
• o(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快的越多。
• 算法运行时间并不以秒为单位。
• 算法运行时间是从其增速的角度度量的。
• 算法运行时间用大O表示法表示。