LIS问题

LIS定义
LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 。
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

O(N^2)做法：dp动态规划

状态设计：dp[i]代表以a[i]结尾的LIS的长度
状态转移：dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (0<=j< i, a[j]< a[i])
边界处理：dp[i]=1 (0<=j< n)
时间复杂度：O(N^2)
举例： 对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的变化过程如下

求完dp数组后，取其中的最大值就是LIS的长度。【注意答案不是dp[n-1]，这个样例只是巧合】

简单示例代码：

#include<iostream> //
#include<string.h>//
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[1000],a[1000];//dp[i]表示以a[i]结尾升序列的长度 
int main()
{
 int i,j,n,ans=0;
 cin>>n;
 for(i=0;i<n;i++){
     cin>>a[i];
     dp[i]=1;//最短是自身 
 }    
 
 for(i=1;i<n;i++){
     for(j=0;j<i;j++){
         if(a[i]>a[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
     }
     ans=max(ans,dp[i]); 
 }
 cout<<ans;
 return 0;
}

O(NlogN)做法：贪心+二分

导弹问题：https://www.cnblogs.com/cstdio1/p/11329076.html

//注意dp数组不是最长升序列，这个方法只适合求最长长度
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],dp[N];
int main() {
int n,len=0;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
    cin>>a[i];
}
dp[0]=a[0];
for(int i=1;i<n;i++){//LIS最长增序列 
    if(a[i]>=dp[len]){
        len++;
        dp[len]=a[i];
    }
    else{//因为是递增数组，左边的越小，可以插入的可能性就越大，
        //    所以找到第一个大于a[i]的用a[i]以替换就ok了 
        int p=upper_bound(dp,dp+len,a[i])-dp;
        dp[p]=a[i];
    }
    
}
cout<<len+1<<endl;
    return 0;     //结束
}