八皇后问题

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。 该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

解法：回溯法

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;

int n=8;
int total=0;
int *c=new int(n);//c[i]==j表示这个皇后处于第i行第j列 

bool is_ok(int row){
    for(int j=0;j!=row;j++){
        //(c[row]-c[j])/(row-j)==1||(c[row]-c[j])/(row-j)==-1
        //就是数学上的斜率k=(f(x)-f(x0))/(x-x0) 
        if(c[row]==c[j] || row-c[row]==j-c[j] || row+c[row]==j+c[j])//同列、同副对角线、同主对角线 
            return false;
    }
    return true;
}

void queen(int row){//按行进行选择八皇后的位置 
    if(row==n){
    total++;
    }
        
    else
        for(int col=0;col!=n;col++){
            c[row]=col;
            if(is_ok(row)){
                queen(row+1);//继续摆放下一行的皇后    
                
            }

        }       
}

int main(){
    queen(0);
    cout<<total;
    free(c); 
    return 0;
}

维基百科的解法：

#include <stdio.h>

#define QUEENS       8 /*皇后数量*/
#define IS_OUTPUT    1 /*(IS_OUTPUT=0 or 1)，Output用于选择是否输出具体解,为1输出，为0不输出*/

int A[QUEENS + 1], B[QUEENS * 3 + 1], C[QUEENS * 3 + 1], k[QUEENS + 1][QUEENS + 1];
int inc, *a = A, *b = B + QUEENS, *c = C;
void lay(int i) {
  int j = 0, t, u;

  while (++j <= QUEENS)
    if (a[j] + b[j - i] + c[j + i] == 0) {
      k[i][j] = a[j] = b[j - i] = c[j + i] = 1;
      if (i < QUEENS) lay(i + 1);
      else {
        ++inc;
        if (IS_OUTPUT) {
          for (printf("(%d)
", inc), u = QUEENS + 1; --u; printf("
"))
            for (t = QUEENS + 1; --t; ) k[t][u] ? printf("Q ") : printf("+ ");
          printf("


");
        }
      }
      a[j] = b[j - i] = c[j + i] = k[i][j] = 0;
    }
}

int main(void) {
  lay(1);
  printf("%d皇后共计%d个解
", QUEENS, inc);
  return 0;
}　

回溯法（非递归）

#include<stdio.h>

#define PRINTF_IN 1 //定义是否打印，1：打印，0：不打印

int queens(int Queens){
    int i, k, flag, not_finish=1, count=0;
    //正在处理的元素下标，表示前i-1个元素已符合要求，正在处理第i个元素
    int a[Queens+1];    //八皇后问题的皇后所在的行列位置，从1幵始算起，所以加1
    i=1;
    a[1]=1;  //为数组的第一个元素赋初值

    printf("%d皇后的可能配置是:",Queens);

    while(not_finish){  //not_finish=l:处理尚未结束
        while(not_finish && i<=Queens){  //处理尚未结束且还没处理到第Queens个元素
            for(flag=1,k=1; flag && k<i; k++) //判断是否有多个皇后在同一行
                if(a[k]==a[i])
                    flag=0;

            for (k=1; flag&&k<i; k++)  //判断是否有多个皇后在同一对角线
                if( (a[i]==a[k]-(k-i)) || (a[i]==a[k]+(k-i)) )
                    flag=0;

            if(!flag){  //若存在矛盾不满足要求，需要重新设置第i个元素
                if(a[i]==a[i-1]){  //若a[i]的值已经经过一圈追上a[i-1]的值
                    i--;  //退回一步，重新试探处理前一个元素

                    if(i>1 && a[i]==Queens)
                        a[i]=1;  //当a[i]为Queens时将a[i]的值置1
                    else
                        if(i==1 && a[i]==Queens)
                            not_finish=0;  //当第一位的值达到Queens时结束
                        else
                            a[i]++;  //将a[il的值取下一个值
                }else if(a[i] == Queens)
                    a[i]=1;
                else
                    a[i]++;  //将a[i]的值取下一个值
            }else if(++i<=Queens)
                if(a[i-1] == Queens )
                    a[i]=1;  //若前一个元素的值为Queens则a[i]=l
                else
                    a[i] = a[i-1]+1;  //否则元素的值为前一个元素的下一个值
        }

        if(not_finish){
            ++count;
            if(PRINTF_IN){
                printf((count-1)%3 ? "   [%2d]:" : "
[%2d]:", count);
                
                for(k=1; k<=Queens; k++) //输出结果
                printf(" %d", a[k]); 
            }
   
            if(a[Queens-1]<Queens )
                a[Queens-1]++;  //修改倒数第二位的值
            else
                a[Queens-1]=1;

            i=Queens -1;    //开始寻找下一个满足条件的解
        }
    }
    return count;
}

int main()
{
    int Num ; 

    printf("输入一个N皇后数值：");
    scanf("%d" , &Num);
    printf("
%d皇后有%d种配置
",Num,queens(Num));
}