欧拉函数：
定义和简单性质
欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.
欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.
对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).
欧拉函数的一些性质:
1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1
欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.
证明：
函数的积性即：若m,n互质,则φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互质”可知m,n无公因数,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn为m的质因数,p1',p2',p3'...pn'为n的质因数,而m,n无公因数,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均为mn的质因数且为mn质因数的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).
即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.
2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.
φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).
3.除了N=2,φ(N)都是偶数.
4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).
5.欧拉降幂公式：
下面为求单个欧拉函数的代码（C++）：
LL eular(LL m)
{
LL res=m,a=m;
for(LL i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(a%i==0)
a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}
如果求phi[1] phi[2] phi[3].....phi[n]代码如下：
int phi[maxn];
void Get_phi(int n)
{
memset(phi,0,sizeof(phi));
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!phi[i])
for(int j=i;j<=n;j++)
{
if(!phi[j]) phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
对于降幂公式的应用，我有一篇Exponial的题目（求 (n)=n(n − 1)(n − 2)⋯21）；
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 LL N,M; 7 8 LL eular(LL m) 9 { 10 LL res=m,a=m; 11 for(LL i=2;i*i<=a;i++) 12 { 13 if(a%i==0) 14 { 15 res=res/i*(i-1); 16 while(a%i==0) 17 a/=i; 18 } 19 } 20 if(a>1) res=res/a*(a-1); 21 return res; 22 } 23 24 LL Fast_mod(LL x,LL n,LL m) 25 { 26 LL res=1; 27 while(n>0) 28 { 29 if(n & 1) res=(res*x)%m; 30 x=(x*x)%m; 31 n/=2; 32 } 33 return res; 34 } 35 36 LL work(LL n,LL m) 37 { 38 LL ans; 39 if(m==1) return 0; 40 else if(n==1) return 1; 41 else if(n==2) return 2%m; 42 else if(n==3) return 9%m; 43 else if(n==4) return Fast_mod(4,9,m); 44 else 45 { 46 LL phi=eular(m); 47 LL z=work(n-1,phi); 48 ans=Fast_mod(n,phi+z,m); 49 } 50 return ans; 51 } 52 53 int main() 54 { 55 while(~scanf("%lld%lld",&N,&M)) 56 { 57 printf("%lld ",work(N,M)); 58 } 59 return 0; 60 }