三角恒等变换是高中的一个重要的知识，我是在预习时通过自己的方法推导了一遍，个人认为，这样可以加深对其的理解。本文同时也作为一篇学习笔记。
和与差角公式推导
差角的余弦公式推导
差角的余弦公式是三角恒等变换的一系列公式的基础，推导出它，就为接下来的推导铺平了道路。这里使用向量，而不是普通的几何方法。以下为推导过程。
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设在平面直角坐标系$xOy$中，有角$alpha , eta$，其始边均与$Ox$重合。
设$overrightarrow{OA}=(cosalpha,sinalpha),overrightarrow{OB}=(coseta,sineta), heta=
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根据$C_{(alpha-eta)}$，易得
$$
egin{align}
cos(alpha+eta)&=cos[alpha-(-eta)] \
&=cosalphacos(-eta)+sinalphasin(-eta) \
&=cosalphacoseta-sinalphasineta \
end{align}
$$
总结一下，和与差的余弦公式可以写成这样：
[C_{(alphapmeta)}:cos(alphapmeta)=cosalphacosetampsinalphasineta
]
和与差的正弦公式推导
根据诱导公式(cos(frac{pi}{2}-alpha)=sinalpha)，即可进行转化。
[egin{align}
sin(alpha-eta)&=cos[(frac{pi}{2}-alpha)+eta] \
&=cos(frac{pi}{2}-alpha)coseta-sin(frac{pi}{2}-alpha)sineta \
&=sinalphacoseta-cosalphasineta \
sin(alpha+eta)&=sin[alpha-(-eta)] \
&=sinalphacos(-eta)-cosalphasin(-eta) \
&=sinalphacoseta+cosalphasineta \
end{align}
]
总结一下，可以写成：
[S_{(alphapmeta)}:sin(alphapmeta)=sinalphacosetapmcosalphasineta
]
和与差的正切公式推导
根据商数关系，即( analpha=frac{alpha}{eta})，再利用之前推导的公式，就可以推导了。
[egin{align}
an(alpha+eta)&=frac{sin(alpha+eta)}{cos(alpha+eta)} \
&=frac{sinalphacoseta+cosalphasineta}{cosalphacoseta-sinalphasineta} \
&=frac{frac{sinalphacoseta+cosalphasineta}{cosalphacoseta}}{frac{cosalphacoseta-sinalphasineta}{cosalphacoseta}} \
&=frac{ analpha+ aneta}{1- analpha aneta} \
an(alpha-eta)&= an[alpha-(-eta)] \
&=frac{ analpha+ an(-eta)}{1- analpha an(-eta)} \
&=frac{ analpha- aneta}{1+ analpha aneta} \
end{align}
]
所以
[T_{(alphapmeta)}: an(alphapmeta)=frac{ analphapm aneta}{1mp analpha aneta}
]
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# 倍角公式推导
> 在本文中，**倍角特指二倍角，其他的$n$倍角中的$n$不能省略。**
其实很简单，根据前面的和角的公式，把(2alpha)用(alpha+alpha)代入即可。
[egin{align}
sin 2alpha&=sin(alpha+alpha) \
&=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha \
&=2sinalphacosalpha \
cos 2alpha&=cos(alpha+alpha) \
&=cosalphacosalpha-sinalphasinalpha \
&=cos^{2} alpha-sin^{2} alpha \
an 2alpha&= an(alpha+alpha) \
&=frac{ analpha+ analpha}{1- analpha analpha} \
&=frac{2 analpha}{1- an^{2} alpha} \
end{align}
]
特别的，倍角的余弦公式还可以转化为仅用一个函数名表示：
[egin{align}
cos 2alpha&=cos^{2} alpha-sin^{2} alpha \
&=cos^{2} alpha-1+cos^{2} alpha \
&=2cos^{2} alpha-1 \
cos 2alpha&=cos^{2} alpha-sin^{2} alpha \
&=1-sin^{2} alpha-sin^{2} alpha \
&=1-2sin^{2} alpha \
end{align}
]
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# 总结
这些公式可以用一个表格概括：
| 三角函数 | (alphapmeta) | (2alpha) |
|---|---|---|
| (sin) | (sin(alphapmeta)=sinalphacosetapmcosalphasineta) | (sin 2alpha=2sinalphacosalpha) |
| (cos) | (cos(alphapmeta)=cosalphacosetampsinalphasineta) | (cos 2alpha=cos^{2} alpha-sin^{2} alpha \ =2cos^{2} alpha-1\ =1-2sin^{2} alpha) |
| ( an) | ( an(alphapmeta)=frac{ analphapm aneta}{1mp analpha aneta}) | ( an 2alpha=frac{2 analpha}{1- an^{2} alpha}) |
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