▶ 异或运算 "^" 具有的部分性质：
● 交换律，结合律
● a ^ b == (!a & b) | (a & !b)，a ^ 1 == !a，a ^ 0 == a，a ^ a == 0，a ^ !a == 1,
● RAID 5 的理解：写入时，数据 A 写入硬盘 0， 数据 B 写入硬盘 1，数据 A^B 写入硬盘 2；读取时，数据 A 可用硬盘 1 和硬盘 2 的数据 B^C 进行验校或恢复
▶ 使用异或运算找非重复元素的方法，参考【https://blog.csdn.net/u013609078/article/details/51622077】，但是原文写的像屎一样，很多说法连良定义都没有
●（1）整型数组中有 1 个元素只出现一次，其他数字都出现两次，要求找出这个数字
■ 把所有元素进行规约异或即可
●（2）整型数组中有 2 个元素只出现一次，其他数字都出现两次，要求找出这个数字
■ 核心思想是利用两元素的差异（二进制表示中从低位到高位首个不同的位）作为条件来构造子列，把所有与 b 具有相同条件的元素去掉，在该子列中找 a 就等价于问题（1）
■ 找出 a 后 b = (a ^ b) ^ a
■ 代码
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <cassert> 4 5 using namespace std; 6 7 inline int getLastOneBit(int num) // 求 num 最低 "1" 位，返回值有且仅有一位为 1，特例输入 0 返回 0 8 { 9 return num & ~(num - 1); 10 } 11 12 vector<int> findTwo(vector<int> & haha) 13 { 14 int ab = 0; 15 for (int i = 0; i < haha.size(); i++) // 第一轮得到 a ^ b，用 ab 来表示 16 ab ^= haha[i]; 17 assert(ab != 0); // 保证 a != b 18 int lastOneBit = getLastOneBit(ab); // 取 ab 的最低 "1" 位（定义为从低位到高位，首个至少有一个值为 1 的位），即 a 和 b 二进制表示中从低位到高位首个不同的位 19 // 如 ab = 01100100，则 lastOneBit = 00000100，可能的情况 a = ...100，b = ...000 20 int a = 0; 21 for (int i = 0; i < haha.size(); i++) // 不妨设 a 在 lastOneBit 位上为 1，第二轮取所有该位为 1 的元素作为子列进行异或运算，重复元素不影响结果 22 { 23 if (haha[i] & lastOneBit) 24 a ^= haha[i]; 25 } 26 int b = ab ^ a; 27 cout << "findTwo -> a: " << a << ", b: " << b << endl; 28 return vector<int>({ a, b }); 29 } 30 31 int main() 32 { 33 vector<int> haha = { 2, 3, 5, 2, 3, 5, 7, 11 }; 34 vector<int> result = findTwo(haha); 35 36 cout << "result -> a: " << result[0] << ", b: " << result[1] << endl; 37 return 0; 38 }
■ 输出结果
findTwo -> a: 7, b: 11 result -> a: 7, b: 11
●（3）整型数组中有 3 个元素只出现一次，其他数字都出现两次，要求找出这个数字
■ 引理：若x ^ y ^ z == 0，则 x，y，z 最低 "1" 位有且仅有两个数为 1，如 x == 00001000，y == 00000100，z == 00001100 满足该式
证明：3 个数的最低 "1" 位四种情况：
① 全相同，该位 1 ^ 1 ^ 1 == 1；
② 全不同，该位 1 ^ 0 ^ 0 == 1；
③ 两个 0 一个 1，该位 1 ^ 0 ^ 0 == 1；
④ 两个 1 一个 0，该位 1 ^ 1 ^ 0 == 0，仅这种情况满足上式
■ 注意到恒等式 (a ^ b) ^ (a ^ c) ^ (b ^ c) == ((a^b^c) ^ c) ^ ((a^b^c) ^ b) ^ ((a^b^c) ^ a) == 0，所以 (a ^ b)，(a ^ c)，(b ^ c) 三个数的的最低 "1" 位有且仅有两个 1，
不妨设 (a ^ c) 和 (b ^ c) 该位为 1，(a ^ b) 的该位为 0，则 (a ^ c) 与 (b ^ c) 的最低 "1" 位相同，且 (a ^ b) 的最低 "1" 位不同，
于是 getLastOneBit(a ^ c) ^ getLastOneBit(b ^ c) ^ getLastOneBit(a ^ b) == getLastOneBit(a ^ b)，干掉了最低 "1" 位相同的那两个，
类似问题（2），我们构造原数组的一个子列，筛选出原数组中满足 getLastOneBit((a^b^c) ^ x) == getLastOneBit(a ^ b) 的那些元素 x，
① 若 x 是重复元素，则 x 会在子列中出现零次或两次，不影响异或的结果；
② 若 x == a || x == b，则上述等式不成立，x 不在子列中；
③ 若 x == c，则上述等式成立，x 在子列中
所以在该子列中找 c 就等价于问题（1），然后把找到的 c 添加到原数组末尾（相当于新子列中 c 为重复元素），在该新数组中找 a 和 b 就等价于问题（2）
■ 代码
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <cassert> 4 5 using namespace std; 6 7 inline int getLastOneBit(int num) 8 { 9 return num & ~(num - 1); 10 } 11 12 vector<int> findTwo(vector<int> & haha) 13 { 14 int ab = 0; 15 for (int i = 0; i < haha.size(); i++) 16 ab ^= haha[i]; 17 assert(ab != 0); 18 int lastOneBit = getLastOneBit(ab); 19 20 int a = 0; 21 for (int i = 0; i < haha.size(); ++i) 22 { 23 if (haha[i] & lastOneBit) 24 a ^= haha[i]; 25 } 26 int b = ab ^ a; 27 cout << "findTwo -> a: " << a << ", b: " << b << endl; 28 return vector<int>({ a, b }); 29 } 30 31 int findOne(vector<int> & haha) 32 { 33 int abc = 0; 34 for (int i = 0; i < haha.size(); i++) // 第一轮得到 a ^ b ^ c，用 abc 表示 35 abc ^= haha[i]; 36 37 int lastOneBit = 0; 38 for (int i = 0; i < haha.size(); i++) // 第二轮得到 getLastOneBit(a ^ b) ^ getLastOneBit(a ^ c) ^ getLastOneBit(b ^ c)，成对元素不影响结果 39 lastOneBit ^= getLastOneBit(abc ^ haha[i]); 40 //lastOneBit = getLastOneBit(lastOneBit); // 原博客中有这句，实际不需要 41 42 int c = 0; 43 for (int i = 0; i < haha.size(); i++) // 第三轮选出所有最低 "1" 位与 lastOneBit 相同的元素（a 和 b 肯定不在里边），用异或找出 c 44 { 45 if (getLastOneBit(abc ^ haha[i]) == lastOneBit) 46 c ^= haha[i]; 47 } 48 cout << "findOne -> c: " << c << endl; 49 return c; 50 } 51 int main() 52 { 53 vector<int> haha = { 2, 3, 5, 2, 3, 5, 7, 11, 13 }; 54 int c = findOne(haha); // 先找出一个非重复的元素 55 haha.push_back(c); // 将找到的元素添加到原数组末尾，相当于去掉了这个非重复元素 56 vector<int> result = findTwo(haha); // 寻找剩余两个非重复元素 57 result.push_back(c); 58 59 cout << "result -> a: " << result[0] << ", b: " << result[1] << ", c: " << result[2] << endl; 60 return 0; 61 }
■ 输出结果
findOne -> c: 13 findTwo -> a: 7, b: 11 result -> a: 7, b: 11, c: 13
▶ 格雷码与普通二进制码相互转换。证明使用中括号记法，考虑结果每一位来源于 bin 的哪几位的计算
1 gray = bin ^ (bin >> 1) 2 bin = gray ^ (gray >> 1)