551. Student Attendance Record I + Student Attendance Record II

▶ 一个学生的考勤状况是一个字符串，其中各字符的含义是：A 缺勤，L 迟到，P 正常。如果一个学生考勤状况中 A 不超过一个，且没有连续两个 L（L 可以有多个，但是不能连续），则称该学生达标（原文表述：A student could be rewarded if his attendance record doesn't contain more than one 'A' (absent) or more than two continuous 'L' (late). ）

▶ 551. 给定一个学生的考勤状况，判断他能否达标。

● 代码，4 ms，简单的计数，最快的解法算法与之相同

class Solution
{
public:
    bool checkRecord(string s)
    {
        int i, a, l;
        for (i = a = l = 0; i < s.size(); i++)
        {
            if (s[i] == 'A')
                a++;
            if (s[i] == 'L')
                l++;
            else            // 出现 A 或 P 时均要清空 L 计数
                l = 0;
            if (a >= 2 || l > 2)
                return false;
        }
        return true;
    }
};

▶ 552. 给定正整数 n，考虑所有长度为 n 的考勤状况（3ⁿ 种可能），计算达标的考勤状况数，该数字可能非常大，取关于 10⁹ + 7（竟然是个素数）模作为输出结果

● 自己的代码，29 ms，时间复杂度 O(n)，考虑递推数列，一个达标序列只能是以下三种情况：

a[ k ] 表长度为 k，以 P 结尾，不含 A 的达标序列个数

b[ k ] 表长度为 k，以 PL 结尾，不含 A 的达标序列个数（不能是 LLLP 结尾）

c[ k ] 表长度为 k，以 LL 结尾，不含 A 的达标序列个数（不能是 LLL 结尾）

注意到 a[ 1 ] = b[ 1 ] = 1，c[ 1 ] = 0，a[ k ] = a[ k - 1 ] + b[ k - 1 ] + c[ k - 1]（任意一种达标序列添个 P），b[ k ] = a[ k - 1 ]（P 结尾的达标序列添个 L），c[ k ] = b[ k - 1 ]（PL 结尾的达标序列添个 L）

约化后就变成了 a[ 1 ] = 1，a[ 2 ] = 2，a[ 3 ] = 4，a[ n ] = a[ n - 1 ] + a[ n - 2 ] + a[ n - 3 ]  ( n ≥ 4 )

对上述数列打表，使用长度为 n+1 的表 f，其中 a[ k ] = f[ k - 1 ]，即所有下标有一单位的平移，在代码中注意控制

因为打表序列中 A 至多一个，所以按照 A 的位置分类讨论：

① 不含A，一共有 a[ n ] + b[ n ] + c[ n ] = a[ n + 1 ] 种情况，等于 f[ n ]（打表要长一格的原因）

② A 在开头，一共有 a[ n - 1 ] + b[ n - 1 ] + c[ n - 1 ] = a[ n ] 种情况，等于 f[ n - 1 ]

③ A 在结尾，同上，等于 f[ n - 1 ]

④ A 在中间，考虑 A 的左边有长度为 i 的不含 A 的序列，且 A 的右边有长度为 n - i - 1 的不含A的序列，一共是 ( a[ i ] + b[ i ] + c[ i ] ) * ( a[ n - i - 1 ] + b[ n - i - 1 ] + c[ n - i - 1 ] )，即 f[ i ] * f[ n - i - 1 ]，
i 在 i = 1 到 i = n - 2 之间求和。

注意每一步取模运算，因为 f 本身是指数级增长的。

class Solution
{
public:
    int checkRecord(int n)
    {
        if (n == 1)
            return 3;
        const int m = 1000000007;
        vector<long long> f(n + 1, 0);
        int i,sum;
        for (f[0] = 1, f[1] = 2, f[2] = 4, i = 3; i <= n; f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2] + f[i - 3]) % m, i++);
        for (sum = (f[n] + f[n - 1] * 2) % m, i = 1; i < n - 1; i++)
            sum = (sum + f[i] * f[n - i - 1]) % m;
        return sum;
    }
};

● 代码，4 ms，使用一个矩阵的幂来计算递推

#define ENTRY(A, i, j)  ((A)[(i) * n + (j)])

int64_t* NewMatrix(size_t n)
{
    assert(n >= 1);
    int64_t* temp = (int64_t*)calloc(n * n, sizeof(int64_t));
    assert(temp != NULL);
    return temp;
}

void FreeMatrix(int64_t* A)
{
    free(A);
}

void SetMatrix(int64_t* A, int64_t* B, size_t n)
{
    memcpy(A, B, n * n * sizeof(int64_t));
}

void IdentityMatrix(int64_t* A, size_t n)// 将方阵 A 赋值为单位方阵
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
            ENTRY(A, i, j) = (i == j);
    }
}

void MatrixMultiply(int64_t* A, int64_t* B, size_t n)// 方阵乘法 A = A * B
{
    assert(n >= 1);
    int64_t* C = NewMatrix(n);
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (j = 0; j < n; ++j)
        {
            ENTRY(C, i, j) = 0;
            for (k = 0; k < n; ++k)
                ENTRY(C, i, j) += ENTRY(A, i, k) * ENTRY(B, k, j);            
        }
    }
    memcpy(A, C, n * n * sizeof(int64_t));
    FreeMatrix(C);
}

void MatrixPower(int64_t* C, int64_t* A, size_t n, int m)// 方阵幂 C = A ^ m 
{
    assert(n >= 1);
    assert(m >= 0);
    int64_t* B = NewMatrix(n);
    SetMatrix(B, A, n);
    IdentityMatrix(C, n);
    for (; m > 0; m /= 2)// 二进制方法
    {
        if (m % 2 == 1)
            MatrixMultiply(C, B, n);
        MatrixMultiply(B, B, n);        
    }
    FreeMatrix(B);
}

void MatrixModulus(int64_t* A, size_t n, int64_t modulus)// 方阵逐格求模 A %= m
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < n; ++i)
    {
        for (j = 0; j < n; ++j)
            ENTRY(A, i, j) = ENTRY(A, i, j) % modulus;
    }
}

void MatrixModulusPower(int64_t* C, int64_t* A, size_t n, int m, int64_t modulus)// C = A ^ m % modulus
{
    assert(n >= 1);
    assert(m >= 0);
    int64_t* B = NewMatrix(n);
    SetMatrix(B, A, n);
    IdentityMatrix(C, n);
    for (; m > 0;m/=2)
    {
        if (m % 2 == 1)
        {
            MatrixMultiply(C, B, n);
            MatrixModulus(C, n, modulus);
        }
        MatrixMultiply(B, B, n);
        MatrixModulus(B, n, modulus);        
    }
    FreeMatrix(B);
}

int AttendanceNumber(int m)
{
    assert(m >= 0);
    size_t n = 6;
    int64_t initial_vector[6] = { 1, 3, 8, 19, 43, 94 };
    int64_t modulus = 1000000007;
    int64_t* A = NewMatrix(n);
    ENTRY(A, 0, 1) = 1;
    ENTRY(A, 1, 2) = 1;
    ENTRY(A, 2, 3) = 1;
    ENTRY(A, 3, 4) = 1;
    ENTRY(A, 4, 5) = 1;
    ENTRY(A, 5, 0) = -1;
    ENTRY(A, 5, 1) = -2;
    ENTRY(A, 5, 2) = -3;
    ENTRY(A, 5, 3) = 0;
    ENTRY(A, 5, 4) = 1;
    ENTRY(A, 5, 5) = 2;
    int64_t answer = 0;
    if (m <= 5)
        answer = initial_vector[m];
    else
    {
        int64_t* C = NewMatrix(n);
        MatrixModulusPower(C, A, n, m - n + 1, modulus);
        for (size_t i = 0; i < n; ++i)
            answer += ENTRY(C, n - 1, i) * initial_vector[i];
        answer = (answer % modulus + modulus) % modulus;
        FreeMatrix(C);
    }
    FreeMatrix(A);
    return answer;
}

#undef ENTRY

class Solution
{
public:
    int checkRecord(int n)
    {
        return AttendanceNumber(n);
    }
};

● 初版动态规划（MLE），f[ i ][ j ][ k ] 表示长度为 i，至多 j 个 A，至多 k 个连续 L 的序列。所求目标为 f[ n ][ 1 ][ 2 ]，转移方程如下，发现可以用矩阵幂来一次性计算 f[ n ]

　　

class Solution
{
public:
    int checkRecord(int n)
    {
        const int MOD = 1000000007;
        vector<vector<vector<int>>> f(n + 1, vector<vector<int>>(2, vector<int>(3, 0)));
        int i, j, k, val;
        for (i = 0; i < 2; i++)
            for (j = 0; j < 3; f[0][i][j++] = 1);        
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (j = 0; j < 2; j++)
            {
                for (k = 0; k < 3; k++)
                {
                    val = f[i - 1][j][2];                       // P
                    if (j > 0)                                  // A
                        val = (val + f[i - 1][j - 1][2]) % MOD;  
                    if (k > 0)                                  // L
                        val = (val + f[i - 1][j][k - 1]) % MOD;  
                    f[i][j][k] = val;
                }
            }
        }
        return f[n][1][2];
    }
};

● 改进动态规划，8 ms，直接用矩阵幂来计算

class Solution
{
public:
    const int MOD = 1000000007, M = 6;
    void mul(vector<vector<int>>& A, vector<vector<int>>& B)
    {
        vector<vector<int>> temp(M, vector<int>(M, 0));
        int i, j, k;
        for (i = 0; i < M; i++)
        {
            for (j = 0; j < M; j++)
            {
                for (k = 0; k < M; k++)
                    temp[i][j] = (int)((temp[i][j] + (long)A[i][k] * B[k][j]) % MOD);
            }
        }
        A = temp;
        return;
    }
    void pow(vector<vector<int>>& A, int n)
    {
        vector<vector<int>> temp(M, vector<int>(M, 0));
        for (int i = 0; i < M; temp[i][i] = 1, i++);
        for (; n > 0; n /= 2)
        {
            if (n % 2)
                mul(temp, A);
            mul(A, A);
        }
        A = temp;
        return;
    }
    int checkRecord(int n)
    {
        vector<vector<int>> A = 
        {
            { 0, 0, 1, 0, 0, 0 },
            { 1, 0, 1, 0, 0, 0 },
            { 0, 1, 1, 0, 0, 0 },
            { 0, 0, 1, 0, 0, 1 },
            { 0, 0, 1, 1, 0, 1 },
            { 0, 0, 1, 0, 1, 1 },
        };
        pow(A, n + 1);
        return A[5][2];
    }
};

● 代码，深度优先遍历，TLE，说明穷举肯定不行

class Solution
{
public:
    int checkRecord(int n)
    {
        long long res = 0;
        dfs(n, 0, 0, 0, res);
        return res % 1000000007;
    }
    void dfs(int n, int s, int A, int L, long long& res)// 当前共 s 位，有 A 个 A 和 L 个 L
    {
        if (s == n)
        {
            res++;
            return;
        }
        dfs(n, s + 1, A, 0, res);   //add "P"
        if (A < 1)
            dfs(n, s + 1, A + 1, 0, res);
        if (L <= 1)
            dfs(n, s + 1, A, L + 1, res);
    }
};