字符串的循环节--[Poi2012]A Horrible Poem

先放个简单版的

Pku2406 Power Strings

Given two strings a and b we define a*b to be their concatenation. For example, if a = "abc" and b = "def" then a*b = "abcdef". If we think of concatenation as multiplication, exponentiation by a non-negative integer is defined in the normal way: a^0 = "" (the empty string) and a^(n+1) = a*(a^n).
求一个字符串由多少个重复的子串连接组成，例如ababab由3个ab连接而成，因此答案为3，又例如abcd由1个abcd连接而成，因此答案为1
Input
Each test case is a line of input representing s, a string of printable characters. The length of s will be at least 1 and will not exceed 1 million characters. A line containing a period follows the last test case.
Output
For each s you should print the largest n such that s = a^n for some string a.
Sample Input
abcd
aaaa
ababab
.
Sample Output
1
4
3

Sol1:Hash

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const LL base=131;
const int N=1000010;
int n;
LL power[N],sum[N];
bool check(LL v,int k)  //判断s[1]~s[k]是否是循环节
{
    for(register int i=1;i<=n;i+=k){
        if(v!=sum[i+k-1]-sum[i-1]*power[k]) return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    power[0]=1;
    for(register int i=1;i<=N-10;++i) //hash准备工作
        power[i]=power[i-1]*base;
    char s[N];
    while(scanf("%s",s+1)){
        if(s[1]=='.')break;
        n=strlen(s+1);
        sum[0]=0;
        for(register int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]*base+LL(s[i]);
        for(register int i=1;i<=n;++i){
            if(n%i)continue;
            LL expect=sum[i];
            if(check(expect,i)){
                printf("%d
",n/i);
                break;
            }   
        }
    }
    return 0;
}

Sol2:Kmp算法

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int nxt[1000010],m;
char b[1000010];
void get_next()
{
    memset(nxt,0,sizeof(nxt));
    int j=0;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        while(j&&b[i]!=b[j+1])j=nxt[j];
        if(b[j+1]==b[i])nxt[i]=++j;
    }
}
int main()
{
    while(1)
    {
        scanf("%s",b+1);
        if(b[1]=='.')break;
        m=strlen(b+1);
        get_next();
        //此题求的东西与后面的poi那个正好相反
        //例如"abcabcabc",易知next[9]=6,即字符串前缀长度为6的，正好等于后缀长度为6
        //如果存在循环节，则9-next[9]这个数字应该为9的约数
        //这样形如s1s2s3
        //等于       s1s2s3
        //即s2s3这一段等于s1s2这一样，于是我们将其等长划分后
        //s2=s1,s3=s2,于是s1=s2=s3 
        if(m%(m-nxt[m])==0)
           printf("%d
",m/(m-nxt[m]));
        else 
            puts("1");
    }
}

 

　　

给出一个由小写英文字母组成的字符串S，再给出q个询问，要求回答S某个子串的最短循环节。
如果字符串B是字符串A的循环节，那么A可以由B重复若干次得到。
Input
第一行一个正整数n (n<=500,000)，表示S的长度。
第二行n个小写英文字母，表示字符串S。
第三行一个正整数q (q<=2,000,000)，表示询问个数。
下面q行每行两个正整数a,b (1<=a<=b<=n)，表示询问字符串S[a..b]的最短循环节长度。
Output
依次输出q行正整数，第i行的正整数对应第i个询问的答案。
Sample Input
8
aaabcabc
3
1 3
3 8
4 8
Sample Output
1
3
5

Sol:设Len为所求的区间长度，然后对Len这个数字做质因子分解

例如Len=20时，20=2*2*5

首先取出长度为20/2=10的字符串的前缀及后缀，看其是否相等，如果相等则Len=10

然后取出长度为10/2=5的字符串的前缀及后缀，看是否相等，如果不等，则Len不变

然后取出Len=10/5=2的字符串的前缀及后缀，看是否相等。

这个思路其实是求字符串的循环节，可参考Period那个题(Kmp算法)

 

　　

/*
列出以下性质：

1、循环节一定是长度的约数（废话。。。）
2、如果n是一个循环节，那么k*n也必定是一个循环节（关键所在）
3、n是[l,r]这一段的循环节的充要条件是 ?[l,r-n]和[l+n,r]相同
（利用这个性质我们在判断是否为循环节是可以做到O(1)）

我们从性质2开始，如果len是循环节，那么最小循环节一定是len的约数——是不是有想法了？
枚举所有的质因子，不断除以原长并保证其仍是循环节，直到不能再小为止。
复杂度O(nlogn)（常数很小）
原文链接：https://blog.csdn.net/zeyu_king/article/details/41989279
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 500005
#define mod 19260817
using namespace std;
inline void read(ll &x)
{
    ll datta=0;char chchc=getchar();bool okoko=0;
    while(chchc<'0'||chchc>'9'){if(chchc=='-')okoko=1;chchc=getchar();}
    while(chchc>='0'&&chchc<='9'){datta=datta*10+chchc-'0';chchc=getchar();}
    x=okoko?-datta:datta;
}
ll p[N],n,m,q[N],l,r,hx[N],base=29;
ll prime[N],pnum,len,son[N],nn;
char c[N];
bool h[N];
void pre()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!h[i])
        {
            prime[++pnum]=i;
            p[i]=i;//对于数字i所能分出的最小质因子,注意是最小的 
        }
        for(int j=1;j<=pnum&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            h[i*prime[j]]=true;
            p[i*prime[j]]=prime[j];
            if(!i%prime[j])break;
        }
    }
    q[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
         q[i]=(q[i-1]*base)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        hx[i]=hx[i-1]*base+c[i]-'a'+1;
        hx[i]=hx[i]%mod;
    }
}
ll fk(ll a,ll b)
{
    ll num=hx[b]-(hx[a-1]*q[b-a+1])%mod;
    num=(num+mod)%mod;
    return num;
}
bool cheak(ll a,ll b,ll l)
//如果[a,b]这一段字符串存在循环节，其长度为L
//则充要条件为[a,b-L]这一段等于[a+L,b]这一段
//形如下图
//1 2 3 4 5 
//  1 2 3 4 5
//1=2,2=3,3=4,4=5,于是它们就都相等了 
{
    if(fk(a,b-l)==fk(a+l,b))
        return true;
    else
        return false;
}
int main()
{
    read(n);
    scanf("%s",c+1);
    pre();
    read(m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        read(l),read(r);
        len=r-l+1,nn=0;
        while(len!=1)
        //对数字Len进行质因子分解,这个分解写得好奇怪 
        {
            son[++nn]=p[len];
            len=len/p[len];
           
        }
        len=r-l+1;
        for(int j=1;j<=nn;j++)
        {
            ll now=len/son[j];
            //将字符串分成son[j]段，每段长度为now 
            if(cheak(l,r,now))
            
                len=now;
        }
        printf("%lld
",len);
    }
    return 0;
}