算法1（多邊形面积，多边形方向，FloodFill， FloydWarshall算法, 最短路問題

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算法1（多邊形面积，多边形方向，FloodFill， FloydWarshall算法, 最短路問題
算法1（多邊形面积，多边形方向，Flood-Fill， Floyd-Warshall算法, 最短路問題

1）多邊形面积
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2#.E9.9D.A2.E7.A7.AF
面積

對用 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots , (x_n,y_n)$ （按逆時針排列）描述的多邊形，其面積為：

$A = \frac{1}{2} \left( \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} x_n & y_n \\ x_1 & y_1 \end{vmatrix} \right)$

若按順時針排列，取負數即可。

對用邊長 $a_1, a_2, \dots , a_n$ 和外角 $\theta_1, \theta_2, \dots ,\theta_n$ 描述的多邊形，其面積為：

$\begin{align}A = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\ {} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\ {} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ) \end{align}$

用邊長和內角描述如下 N邊形S=∑[(-1)^k*mnsinθ]/2這個代表N邊形已知（N-1）個邊的長度，而且知道其中任意兩邊的夾角，對於這兩邊 (-1)^k*mnsinθ求和後的一半便是面積註明：K=0或1，目的是為了表明每個因式mnsinθ的正負號與M，N的交點位置有關

2）判斷一個點是否在凸多邊形內部射線演算法
多边形填充Polygon Filling ，flood fill算法，裝填凸多邊形（ Scanline Fill Algorithm ），裝填簡單多邊形參考： http://alienryderflex.com/polygon_fill/ 。原理與 Point in Polygon 的演算法是一樣的，另一種很常用的方式，是將簡單多邊形進行三角化，每個三角形各自裝填。，延伸閱讀： Pick's Theorem
http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/Polygon.html

3）判断多边形的方向是顺时针还是逆时针
http://hi.baidu.com/cityhacker/blog/item/ad9e1b82aba5cea50cf4d2a7.html
取多边形的极点值，多边形的方向和这个顶点与其相邻两边构成的方向相同。

4） Flood-Fill 种子填充
http://hi.baidu.com/richardma_/blog/item/d688828b9e29c9be0f2444a9.html
问题描述
给出一个点，一张图，算法目的是将该点及其周围同颜色点的颜色替换为某种颜色

算法描述

Flood-fill（点坐标，目标颜色，替换颜色）
1. 如果坐标上的颜色不是目标颜色，则退出
2. 将坐标点设置为替换颜色
3. 递归调用Flood-fill，填充左侧坐标
递归调用Flood-fill，填充右侧坐标
递归调用Flood-fill，填充上方坐标
递归调用Flood-fill，填充下方坐标
4. 返回

5） Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題。
http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BC%97%E6%B4%9B%E4%BC%8A%E5%BE%B7%E7%AE%97%E6%B3%95
Floyd-Warshall算法的原理是動態規劃。

設D_i,j,k為從i到j的只以(1..k)集合中的節點為中間節點的最短路徑的長度。

若最短路徑經過點k，則D_i,j,k = D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1}；
若最短路徑不經過點k，則D_i,j,k = D_{i,j,k − 1}。

因此，D_i,j,k = min(D_{i,k,k − 1} + D_{k,j,k − 1},D_{i,j,k − 1})。

在實際算法中，為了節約空間，可以直接在原來空間上進行迭代，這樣空間可降至二維。（見下面的算法描述）

[編輯] 算法描述

Floyd-Warshall算法的描述如下：

for k ← 1 to n do
for i ← 1 to n do
for j ← 1 to n do
if (D_i,k + D_k,j < D_i,j) then
D_i,j ← D_i,k + D_k,j;

其中D_i,j表示由點i到點j的代價，當D_i,j為 ∞ 表示兩點之間沒有任何連接。
6） Dijkstra算法

7）最短路問題
http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%9B%BE%E8%AE%BA%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF
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原文地址：https://www.cnblogs.com/cutepig/p/1930445.html

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面積

[編輯] 算法描述