NOIP 2011 计算系数

题目描述

求 (ax+by)^k 的展开中 x^n*y^m 项的系数。由于系数可能很大，只要求输出除以 10007 的余数。 

输入

一行共五个整数，分别为 a,b,k,n,m 

输出

一个整数，为该项系数除以10007的余数。 

样例输入

1 1 3 1 2

样例输出

3 

数据范围：

30% 0<=k<=10,

50% a=1,b=1

100% 0<=k<=1000, 0<=n,m<=k 且 n+m=k, 0<=a,b<=100,000 

Sol1：假设a=b=1，则(x+y)^k的展开项的系数，是一个杨辉三角，先计算杨辉三角前k行的值，ans=x[k][n]，再用ans*a^n*b^m即可，注意取模，以及在计算杨辉三角的时候二维数组的坐标从(0,0)开始。

#include<bits/stdc++.h>
#define s 1100
using namespace std;
int x[s][s];
main()
{
    int a,b,k,n,m;
    x[0][0]=1;
    scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&k,&n,&m);
    a%=10007;
    b%=10007;
    for(int i=1;i<=k;i++)//计算前k行的杨辉三角
       for(int j=0;j<=i;j++)
        x[i][j]=(x[i-1][j]+x[i-1][j-1])%10007;}
     
    int ans=x[k][n];
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*a%10007;//ans乘上a^n取模
    for(int i=1;i<=m;i++) ans=ans*b%10007;//ans再乘上b^m取模
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

sol2:求组合数时，可直接算组合数C(k,n)=分子/分母，然后在取模的时候，求出分母这个数值针对p的逆元即可。

当然也可以在计算过程中，算出分母中1到m每个数字针对p的逆元。转化成k*(k-1)*(k-2)*......*(k-n-1) * 1的逆元 * 2的逆元 * 3的逆元*.....m的逆元。

求逆元的几种方法

1：单个数字可以用扩欧来求解

2：1--N之间所有数字，可以递推求解

3：用欧拉定理，直接找出逆元，代码如下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int p=10007;
long long ksm(long long a,long long b)//快速幂求阶乘
{
    if(b==0)return 1;
    if(b%2==0)return ksm(a,b>>1)*ksm(a,b>>1)%p;
    else return a*ksm(a,b>>1)*ksm(a,b>>1)%p;
}
int main()
{
    int a,b,k,m,n;
    cin>>a>>b>>k>>n>>m;
    int c=1,d=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)//求出分母
        c=c*i%p;
    for(int i=k-n+1;i<=k;i++)//求出分子
        d=d*i%p;
    d=d*ksm(c,p-2)%p;//分子*分母的逆元,分母的逆元为c^(p-2)，因为要使cx%p=1,根据欧拉定理有c^(p-1)%p=1,所以x为c^(p-2)
    d=d*ksm(a,n)*ksm(b,m)%p;//再乘上a^n和b^m
    cout<<d;
}