点旋转和坐标系旋转

同一坐标系下的点旋转变换（如图1所示）和不同坐标系之间的旋转变换（如图2所示），一直困扰着我，它们是两个不同的概念，但形式上有很相似，以二维空间为例做了下推导，加深理解。

同一坐标系下的点旋转变换，比较好理解，是在相同的坐标系下做的旋转变换。如图3所示，已知逆时针的旋转角度为θ，我们引入中间变量向量的长度r和水平夹角α，显而易见地，推导公式如下：

(x=r cos( heta+alpha)=rcos( heta)cos(alpha)-rsin( heta)sin(alpha)=x^{'}cos( heta)-x^{'}sin( heta))
(y=r sin( heta+alpha)=rsin( heta)cos(alpha)+rcos( heta)sin(alpha)=x^{'}sin( heta)+x^{'}cos( heta)) 

(egin{bmatrix}
x\
y
end{bmatrix}=egin{bmatrix}
cos( heta) & -sin( heta) \
sin( heta) &cos( heta) &
end{bmatrix}egin{bmatrix}
x^{'}\
y^{'}
end{bmatrix})

齐次坐标系的表达为：

(egin{bmatrix}
x\
y\
1
end{bmatrix}=egin{bmatrix}
cos( heta) & -sin( heta) &0\
sin( heta) &cos( heta) & 0 \
0&0&1
end{bmatrix}egin{bmatrix}
x^{'}\
y^{'}\
1
end{bmatrix})

不同坐标系之间的旋转变换，这是透视变换中常用到的，它的作用是将一个点从一个坐标系统映射到另一个坐标系统下，这在将世界坐标系统映射到相机坐标系统中是很有用的。如图4所示，已知坐标系O'X'Y'相对于OXY坐标系逆时针的旋转角度为θ，O'X'Y'的坐标原点O'相对于OXY的坐标为(x0,y0)，我们引入中间变量向量的长度r和水平夹角α。变换的思路是，先对O'X'Y'坐标系旋转θ，然后在平移(x0,y0)。推导过程如下：

(x=rcos( heta+alpha)+x_{0}=rcos( heta)cos(alpha)-rsin( heta)sin(alpha)=x^{'}cos( heta)-x^{'}sin( heta)+x_{0})
(y=r sin( heta+alpha)+y_{0}=rsin( heta)cos(alpha)+rcos( heta)sin(alpha)=x^{'}sin( heta)+x^{'}cos( heta)+y_{0})

(egin{bmatrix}
x\
y
end{bmatrix}=egin{bmatrix}
cos( heta) & -sin( heta) \
sin( heta) &cos( heta) &
end{bmatrix}egin{bmatrix}
x^{'}\
y^{'}
end{bmatrix}+egin{bmatrix}
x^{0}\
y^{0}
end{bmatrix})

 齐次坐标系的表达为： 

(egin{bmatrix}
x\
y
end{bmatrix}=egin{bmatrix}
cos( heta) & -sin( heta) &x^{0}\
sin( heta) &cos( heta) &y^{0}\
0&0 &1
end{bmatrix}egin{bmatrix}
x^{'}\
y^{'}\
1
end{bmatrix})

 注意齐次坐标的作用是把旋转缩放和平移结合起来，在传统的欧几里得空间中是做不到的，需要在投影空间中的齐次坐标系统下完成。

同理可以扩展到三维空间。OXYZ坐标系统可以看作是相机坐标系统，O'X'Y'Z'可以看做世界坐标系统，

参考资料：

[1].矩阵的坐标变换(转)（里面介绍了矩阵的旋转缩放，还有推导过程，强烈推荐★★★★★）