概率论常用公式

　　有些概率公式常常会一段时间内要用到，但是有经常忘记，这里备注一下

1、乘法法则

　　                                         (pleft ( x,y ight )=pleft ( x|y ight )pleft ( y ight )=pleft ( y|x ight )pleft ( x ight ) )

　　实际上就是条件概率公式的一个等价形式

2、独立性

　　如果(x)和(y)是相互独立的，那么有：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( x, y ight ) = pleft ( x ight )pleft ( y ight ))

3、贝叶斯规则（Bayes' Rule）

　　贝叶斯规则又成为贝叶斯公式，在许多领域都有着广泛的应用，其公式如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( y|x ight )=frac{pleft ( x|y ight )pleft ( y ight )}{pleft ( x ight )})

　　分母是标准化常数，用于确保左边的后验概率其所有可能的值之和为1。因此，我们通常可写成：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( y|x ight )=eta pleft ( x|y ight )pleft ( x ight ))

　　在给定背景知识(e)给定的情况下，贝叶斯变成：

                                              (pleft ( y|x,e ight )=frac{pleft ( x|y,e ight )pleft ( y|e ight )}{pleft ( x|e ight )})

4、边缘化

　　边缘概率公式如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( x ight )= int_{y}^{ } pleft ( x,y ight )dy)　　

　　在离散的情况下，积分变成求和：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( x ight )= sum_{y}^{ } pleft ( x,y ight ))　　

5、全概率法则

　　全概率是边缘概率的一种变体，能通过乘法法则推导而来，即：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( x ight )= int_{y}^{ } pleft ( x|y ight )pleft ( y ight )dy)

　　且，对于离散情况则为相应概率之和，即：

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( x ight )= sum_{y}^{ } pleft ( x|y ight )pleft ( y ight )dy)

 　  对于连续情况，条件概率的全概率公式：

                                                         (pleft ( x|y ight )= int_{z}^{ } pleft ( x|y,z ight )pleft ( z|y  ight )dz)

　　对于离散情况，条件概率的全概率公式：

                                                        (pleft ( x|y ight )= sum_{z}^{ } pleft ( x|y,z ight )pleft ( z|y ight )dz)

6、马尔科夫假设

　　马尔科夫假设是指变量(x_{t})，只与它直接的前一时刻状态(x_{t-1})有关，和(x_{t^{‘}-1})无关，其中(t^{'}<t-1)，则有

　　　　　　　　　　　　　　　　(pleft ( x_{t}|x_{1:t-1} ight )= pleft(x_{t}|x_{t-1}  ight))

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参考资料

　　[1]. Cyrill Stachniss（著）, 陈白帆，刘丽珏（译）.机器人地图创建与环境探索，2013.

博客编写公式用mathtype简直折腾遭罪，吃力不讨好。

以前学习的latex终于能用起来，还是latex的公式最接近完美，深切体会到积累所引起的持续性发酵----厚积薄发。