二叉树顺序存储和遍历

1 二叉树的存储

1.1 顺序存储

      使用数组自上而下，自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在某个数组下标为i-1的分量中，然后通过一些方法确定结点在逻辑上的父子和兄弟关系。

      根据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，既能节省存储空间，又能利用数组元素下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

      而对于一般的二叉树也必须按照完全二叉树的形式存储，也就是必须添加一些并不存在的虚拟结点，造成空间的浪费。

 

图1 二叉树顺序存储

      顺序存储的关键是数组下标确定结点的位置，如结点从1开始编号，那么结点i的左孩子为2*i，右孩子为2*i+1。不存在结点用0表示。

      先回忆一下二叉树的一些性质：

      （1） 非空二叉树第k层最多有2^k-1个结点

      （2） 高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点

      首先按照树的高度height初始化一颗树，以及一些有用的方法，代码如下：

public class ArrayBiTree<T> {
    private Object[] data;
    private int height = 3; // 树的高度 默认为3
    private int n; // 结点个数
    public ArrayBiTree() {
        data = new Object[(int) Math.pow(2, height)];
        init();
    }
    /**
     * 指定深度初始化一个树
     * @param height 树的深度
     */
    public ArrayBiTree(int height) {
        this.height = height;
        data = new Object[(int) Math.pow(2, height) - 1];
    }
    private void init(){
        System.out.println("默认生成一颗完全二叉树，高度为3：");
        for(int i=0; i<(int) Math.pow(2, height) - 1; i++){
            data[i] = i+1;
            n++;
        }
        print();
    }
    /**
     * 判断结点是否存在
     * @param index 根节点从 1 开始
     * @return
     */
    public boolean isExist(int index){ 
        if(index > n) return false;
        return Integer.valueOf(data[index-1].toString()) != 0; 
    }
}

1.2 层次遍历

/**
 * 层次遍历，利用队列是实现
 */
public void levelOrder(){
    RingBuffer<Integer> queue = new RingBuffer<Integer>(n+1);
    queue.put(1); // 根节点先进队列
    
    while(queue.size()>0){
        int tmp = queue.get();
        System.out.print(data[tmp-1]+" ");
        
        if (isExist(2 * tmp)) { // 如果左子树存在，把左子树编号入栈
            queue.put(2 * tmp);
        }

        if (isExist(2 * tmp + 1)) {  // 如果右子树存在，把右子树编号入栈，
            queue.put(2 * tmp + 1);
        }
    }
}

1.3 先序遍历

1.3.1 递归实现

/**
 * 先序遍历，递归实现Recursion
 * @param index 根节点从 1 开始
 */
public void preOrderRecur(int index){
    if(isExist(index)){ //判断结点是否存在
        System.out.print(data[index-1]+" "); // 访问根节点
        preOrderRecur(2*index); // 递归遍历左子树
        preOrderRecur(2*index + 1); // 递归遍历右子树
    }
}

1.3.2 非递归实现

实现方法1：

/**
 * 先序遍历，非递归实现，借助栈来实现<p>
 * 根节点先入栈，访问栈顶结点，若栈顶元素的右孩子存在则入栈，若栈顶元素的左孩子存在则入栈，如此循环直到栈空
 */
public void preOrder(){
    ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n);
    stack.push(1); // 根节点入栈
    while(!stack.isEmpty()){
        int tmp = stack.pop(); // 取根结点，把每个结点都看作根节点
        System.out.print(data[tmp-1]+" "); // 访问根结点
        
        if (isExist(2 * tmp + 1)) {  // 如果根节点的右子树存在，把右子树编号入栈
            stack.push(2 * tmp + 1);
        }

        if (isExist(2 * tmp)) { // 如果根节点的左子树存在，把左子树编号入栈
            stack.push(2 * tmp);
        }
    }
}

实现方法2：

/**
 * 先序遍历1，非递归实现，借助栈来实现<p>
 * @param index 根节点从 1 开始
 */
public void preOrderOne(int index){
    ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n);
    while (isExist(index) || !stack.isEmpty()) {
        // (1) 首先访问根节点，一直往左下方走，直到一个左孩子不存在的结点。
        while (isExist(index)) { 
            System.out.print(data[index - 1] + " ");
            stack.push(index); // 根节点入栈，把每个结点都看作一个根节点，检查其左右孩子是否存在 
            index = 2 * index;
        }
        // 此时，栈内是从根节点左孩子开始的左孩子，最后一个结点是不存在左孩子的结点
        // (2) 拿栈顶元素，看其右孩子是否存在，把当前结点置为其右孩子，继续循环判断(1)
　　　　　int tmp = stack.pop(); // 弹出的左子树结点
　　　　　index = 2 * tmp + 1; // 看它的右孩子是否存在
    }
}

1.4 中序遍历

1.4.1 递归实现

/**
 * 中序遍历，递归实现Recursion
 * @param index 根节点从 1 开始
 */
public void inOrderRecur(int index){
    if(isExist(index)){
        inOrderRecur(2*index); // 递归遍历左子树
        System.out.print(data[index-1]+" "); // 访问根节点
        inOrderRecur(2*index + 1); // 递归遍历右子树
    }
}

1.4.2 非递归实现

/**
 * 中序遍历，非递归实现，更改访问时机即可
 * @param index
 */ 
public void inOrder(int index){
    ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n);
    while(isExist(index) || !stack.isEmpty()){
        while(isExist(index)){
            stack.push(index); // 根节点入栈
            index = 2 * index; // 是否存在左孩子
        }
　　　　　int tmp = stack.pop(); // 弹出左孩子
　　　　　System.out.print(data[tmp-1]+" "); // 访问结点
　　　　　index = 2 * tmp + 1; // 看左孩子的右孩子是否存在
    }
}

1.5 后序遍历

1.5.1 递归实现

/**
 * 后序遍历，递归实现Recursion
 * @param index 根节点从 1 开始
 */
public void postOrderRecur(int index){
    if(isExist(index)){
        postOrderRecur(2*index); // 递归遍历左子树
        postOrderRecur(2*index + 1); // 递归遍历右子树
        System.out.print(data[index-1]+" "); // 访问根节点
    }
}

1.5.2 非递归实现

/**
 * 后序遍历，非递归实现<p>
 * 与前中序相比实现比较麻烦，先访问左子树再访问右子树
 */
public void postOrder(int index){
    ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n);
    int visited = 0; // 标记前一个已被访问的结点
    while(isExist(index) || !stack.isEmpty()){
        while(isExist(index)){
            stack.push(index); // 根节点入栈
            index = 2 * index;
        }// 先把 index 的左孩子全部找到 
        
        int top = stack.peek(); // 查看栈顶元素，没有弹出，访问完右孩子之后在弹出访问根节点
        
        // 如果当前结点不存在右孩子或者右孩子已经访问过，则访问当前结点
        if(!isExist(2*top+1) || (2*top+1) == visited){
            int tmp = stack.pop();
            System.out.print(data[tmp-1]+" ");
            visited = tmp;
        } else { // 否则访问右孩子
            index = 2 * top + 1;
        }
    }
}

2 测试

public static void main(String[] args) {
    ArrayBiTree<Integer> biTree = new ArrayBiTree<Integer>();
    System.out.print("先序遍历(递归)：");
    biTree.preOrderRecur(1);
    System.out.print("
中序遍历(递归)：");
    biTree.inOrderRecur(1);
    System.out.print("
后序遍历(递归)：");
    biTree.postOrderRecur(1);
    System.out.print("
层次遍历：");
    biTree.levelOrder();
    
    System.out.print("
先序遍历(非递归)：");
    biTree.preOrder();
//        biTree.preOrderOne(1);
    System.out.print("
中序遍历(非递归)：");
    biTree.inOrder(1);
    System.out.print("
后序遍历(非递归)：");
    biTree.postOrder(1);
    System.out.println();
    biTree.stdIn();
}

2.1 输出结果