经验分布，也可以考虑有单个顶点、边，或局部的？
loss 怎么定的问题
【Graph Embedding】LINE：算法原理，实现和应用
之前介绍过DeepWalk，DeepWalk使用DFS随机游走在图中进行节点采样，使用word2vec在采样的序列学习图中节点的向量表示。
DeepWalk：算法原理，实现和应用zhuanlan.zhihu.com
LINE也是一种基于邻域相似假设的方法，只不过与DeepWalk使用DFS构造邻域不同的是，LINE可以看作是一种使用BFS构造邻域的算法。此外，LINE还可以应用在带权图中(DeepWalk仅能用于无权图)。
之前还提到不同的graph embedding方法的一个主要区别是对图中顶点之间的相似度的定义不同，所以先看一下LINE对于相似度的定义。
LINE 算法原理
一种新的相似度定义
first-order proximity
1阶相似度用于描述图中成对顶点之间的局部相似度，形式化描述为若 ,
之间存在直连边，则边权
即为两个顶点的相似度，若不存在直连边，则1阶相似度为0。 如上图，6和7之间存在直连边，且边权较大，则认为两者相似且1阶相似度较高，而5和6之间不存在直连边，则两者间1阶相似度为0。
second-order proximity
仅有1阶相似度就够了吗？显然不够，如上图，虽然5和6之间不存在直连边，但是他们有很多相同的邻居顶点(1,2,3,4)，这其实也可以表明5和6是相似的，而2阶相似度就是用来描述这种关系的。 形式化定义为，令 表示顶点
与所有其他顶点间的1阶相似度，则
与
的2阶相似度可以通过
和
的相似度表示。若
与
之间不存在相同的邻居顶点，则2阶相似度为0。
优化目标
1st-order
对于每一条无向边 ，定义顶点
和
之间的联合概率为：
，
为顶点
的低维向量表示。（可以看作一个内积模型，计算两个item之间的匹配程度）
同时定义经验分布 ,
优化目标为最小化：
是两个分布的距离，常用的衡量两个概率分布差异的指标为KL散度，使用KL散度并忽略常数项后有
1st order 相似度只能用于无向图当中。
2nd-order
这里对于每个顶点维护两个embedding向量，一个是该顶点本身的表示向量，一个是该点作为其他顶点的上下文顶点时的表示向量。
对于有向边 ，定义给定顶点
条件下，产生上下文(邻居)顶点
的概率为
，其中
为上下文顶点的个数。
优化目标为 ，其中
为控制节点重要性的因子，可以通过顶点的度数或者PageRank等方法估计得到。
经验分布定义为： ,
是边
的边权，
是顶点
的出度，对于带权图，
使用KL散度并设 ，忽略常数项，有
优化技巧
Negative sampling
由于计算2阶相似度时，softmax函数的分母计算需要遍历所有顶点，这是非常低效的，论文采用了负采样优化的技巧，目标函数变为：
，
是负边的个数。
论文使用 ，
是顶点
的出度
Edge Sampling
注意到我们的目标函数在log之前还有一个权重系数 ，在使用梯度下降方法优化参数时，
会直接乘在梯度上。如果图中的边权方差很大，则很难选择一个合适的学习率。若使用较大的学习率那么对于较大的边权可能会引起梯度爆炸，较小的学习率对于较小的边权则会导致梯度过小。
对于上述问题，如果所有边权相同，那么选择一个合适的学习率会变得容易。这里采用了将带权边拆分为等权边的一种方法，假如一个权重为 的边，则拆分后为
个权重为1的边。这样可以解决学习率选择的问题，但是由于边数的增长，存储的需求也会增加。
另一种方法则是从原始的带权边中进行采样，每条边被采样的概率正比于原始图中边的权重，这样既解决了学习率的问题，又没有带来过多的存储开销。
这里的采样算法使用的是Alias算法，Alias是一种 时间复杂度的离散事件抽样算法。具体内容可以参考
Alias Method:时间复杂度O(1)的离散采样方法zhuanlan.zhihu.com
其他问题
低度数顶点
对于一些顶点由于其邻接点非常少会导致embedding向量的学习不充分，论文提到可以利用邻居的邻居构造样本进行学习，这里也暴露出LINE方法仅考虑一阶和二阶相似性，对高阶信息的利用不足。
新加入顶点
对于新加入图的顶点 ，若该顶点与图中顶点存在边相连，我们只需要固定模型的其他参数，优化如下两个目标之一即可：
或
若不存在边相连，则需要利用一些side info，留到后续工作研究。
LINE核心代码
模型和损失函数定义
LINE使用梯度下降的方法进行优化，直接使用tensorflow进行实现，就可以不用人工写参数更新的逻辑了~
这里的 实现中把1阶和2阶的方法融合到一起了，可以通过超参数order控制是分开优化还是联合优化，论文推荐分开优化。
首先输入就是两个顶点的编号，然后分别拿到各自对应的embedding向量，最后输出内积的结果。 真实label定义为1或者-1，通过模型输出的内积和line_loss就可以优化使用了负采样技巧的目标函数了~
def line_loss(y_true, y_pred):
return -K.mean(K.log(K.sigmoid(y_true*y_pred)))
def create_model(numNodes, embedding_size, order='second'):
v_i = Input(shape=(1,))
v_j = Input(shape=(1,))
first_emb = Embedding(numNodes, embedding_size, name='first_emb')
second_emb = Embedding(numNodes, embedding_size, name='second_emb')
context_emb = Embedding(numNodes, embedding_size, name='context_emb')
v_i_emb = first_emb(v_i)
v_j_emb = first_emb(v_j)
v_i_emb_second = second_emb(v_i)
v_j_context_emb = context_emb(v_j)
first = Lambda(lambda x: tf.reduce_sum(
x[0]*x[1], axis=-1, keep_dims=False), name='first_order')([v_i_emb, v_j_emb])
second = Lambda(lambda x: tf.reduce_sum(
x[0]*x[1], axis=-1, keep_dims=False), name='second_order')([v_i_emb_second, v_j_context_emb])
if order == 'first':
output_list = [first]
elif order == 'second':
output_list = [second]
else:
output_list = [first, second]
model = Model(inputs=[v_i, v_j], outputs=output_list)顶点负采样和边采样
下面的函数功能是创建顶点负采样和边采样需要的采样表。中规中矩，主要就是做一些预处理，然后创建alias算法需要的两个表。
def _gen_sampling_table(self):
# create sampling table for vertex
power = 0.75
numNodes = self.node_size
node_degree = np.zeros(numNodes) # out degree
node2idx = self.node2idx
for edge in self.graph.edges():
node_degree[node2idx[edge[0]]
] += self.graph[edge[0]][edge[1]].get('weight', 1.0)
total_sum = sum([math.pow(node_degree[i], power)
for i in range(numNodes)])
norm_prob = [float(math.pow(node_degree[j], power)) /
total_sum for j in range(numNodes)]
self.node_accept, self.node_alias = create_alias_table(norm_prob)
# create sampling table for edge
numEdges = self.graph.number_of_edges()
total_sum = sum([self.graph[edge[0]][edge[1]].get('weight', 1.0)
for edge in self.graph.edges()])
norm_prob = [self.graph[edge[0]][edge[1]].get('weight', 1.0) *
numEdges / total_sum for edge in self.graph.edges()]
self.edge_accept, self.edge_alias = create_alias_table(norm_prob)LINE应用
和之前一样，还是用LINE在wiki数据集上进行节点分类任务和可视化任务。 wiki数据集包含 2,405 个网页和17,981条网页之间的链接关系，以及每个网页的所属类别。 由于1阶相似度仅能应用于无向图中，所以本例中仅使用2阶相似度。
本例中的训练，评测和可视化的完整代码在下面的git仓库中，
shenweichen/GraphEmbeddinggithub.com
G = nx.read_edgelist('../data/wiki/Wiki_edgelist.txt',create_using=nx.DiGraph(),nodetype=None,data=[('weight',int)])
model = LINE(G,embedding_size=128,order='second')
model.train(batch_size=1024,epochs=50,verbose=2)
embeddings = model.get_embeddings()
evaluate_embeddings(embeddings)
plot_embeddings(embeddings)分类任务结果
micro-F1: 0.6403
macro-F1:0.5286
结果有一定随机性，可以多运行几次，或者稍微调整epoch个数。
可视化结果
