思路
- 先将原数组不断二分成两个部分
- 再把排好序的两部分向上合并为一个新的有序数组，最终的数组就是有序的
- 这里隐含着一个数学归纳法的证明
- 二分至最终两个数组只有一个元素时，它们本身就是有序的
- 从i-1层向上合并到 i 层，i 层是有序的
- 所以最终得到的数组是有序的
实现
- mergeSort()：供用户调用的主函数
- __mergeSort()：二分排序数组（O(logN)）
- __merge()：将两个排好序的数组向上合并成一个数组（O(N)）
- __merge()的实现：
- 开辟一个临时空间（O(n)）拷贝原数组
- 创建三个指针，i、j 指向临时空间中两个排好序数组的第一个元素，每次比较后将元素放入原数组并后移，原数组中的指针k不断后移
- 如果两个排好序数组有一个先处理完，另一个直接复制元素到原数组
- 两种实现方式：自顶向下和自底向上
代码
自顶向下
MergeSort.h
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include "InsertionSort.h" 4 5 using namespace std; 6 7 template<typename T> 8 // 将arr[l...mid]和arr[mid+1...r]两部分进行归并 9 void __merge(T arr[] , int l, int mid, int r){ 10 T aux[r-l+1]; 11 // 将数组复制一份到aux[] 12 for( int i = l ; i <= r ; i ++ ) 13 aux[i-l] = arr[i]; 14 // 初始化，i、j指向左、右半部分的起始索引位置 15 int i = l, j = mid + 1; 16 for( int k = l ; k <= r ; k ++ ){ 17 // 如果左半部分已处理完毕 18 if( i > mid){ 19 arr[k] = aux[j-l]; 20 j++; 21 } 22 // 如果右半部分已处理完毕 23 else if( j > r){ 24 arr[k] = aux[i-l]; 25 i ++; 26 } 27 // 左半部分所指元素 < 右半部分所指元素 28 else if( aux[i-l] < aux[j-l] ){ 29 arr[k] = aux[i-l]; 30 i ++; 31 } 32 // 左半部分所指元素 >= 右半部分所指元素 33 else{ 34 arr[k] = aux[j-l]; 35 j++; 36 } 37 } 38 } 39 40 // 递归使用归并排序，对arr[l...r]的范围进行排序 41 template<typename T> 42 void __mergeSort(T arr[] , int l, int r){ 43 44 if( l >= r) 45 return; 46 47 int mid = (l+r)/2; 48 __mergeSort(arr,l,mid); 49 __mergeSort(arr,mid+1,r); 50 // 优化，前后两部分有序时不归并 51 if( arr[mid] > arr[mid+1] ) 52 __merge(arr, l, mid, r); 53 } 54 55 template<typename T> 56 void mergeSort(T arr[] , int n){ 57 __mergeSort( arr , 0 , n-1 ); 58 }
自底向上
1 //自底向上归并，可对链表排序 2 template<typename T> 3 void mergeSortBU(T arr[], int n){ 4 for( int sz = 1 ; sz <= n ; sz += sz ) 5 for( int i = 0 ; i + sz < n ; i += sz + sz ) 6 // 对 arr[i...i+sz-1] 和 arr[i+sz...i+2*sz-1] 进行归并 7 __merge( arr , i , i + sz - 1 , min(i + sz + sz -1,n-1)); 8 }
应用
- 求逆序对
总结
- 速度快
- 当对空间的要求不高时，非常好用