在二维平面上的n个点中，如何快速的找出最近的一对点，就是最近点对问题。
一种简单的想法是暴力枚举每两个点，记录最小距离，在蛮力法实现最近点对问题中，将问题简化：距离最近的点对可能多于一对，找出一对即可，另外只考虑二维平面中的情况。此处考虑到直接用公式计算其距离（欧几里得距离）：
通过遍历所有点集，计算出每一个点对的距离，计算出最近的距离并输出。避免同一对点计算两次，只考虑i<j的点对(pi,pj)。
其主要循环的步骤就是求出平方值，显然，时间复杂度为O(n^2)。
在这里介绍一种时间复杂度为O(nlogn)的算法。其实，这里用到了分治的思想。将所给平面上n个点的集合S分成两个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点。然后在每个子集中递归地求最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对。如果这两个点分别在S1和S2中，问题变得复杂了。
为了使问题变得简单，首先考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1，x2，...，xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的两个实数。显然可以先将点排好序，然后线性扫描就可以了。但我们为了便于推广到二维的情形，尝试用分治法解决这个问题。
假设我们用m点将S分为S1和S2两个集合，这样一来，对于所有的p(S1中的点)和q(S2中的点)，有p<q。
递归地在S1和S2上找出其最接近点对{p1,p2}和{q1,q2}，并设d = min{ |p1-p2| , |q1-q2| }
由此易知，S中最接近点对或者是{p1,p2}，或者是{q1,q2}，或者是某个{q3,p3}，如下图所示。
注意到： 如果最接近点对是{q3,p3}，即|p3-q3|<d，则p3和q3两者与m的距离都不超过d，且在区间(m-d,d]和(d,m+d]各有且仅有一个点。这样，就可以在线性时间内实现合并。
此时，一维情形下的最近点对时间复杂度为O(nlogn)【T(n)=2T(n/2)+O(n) 】。
在二维情形下，类似的，利用分治法，但是难点在于如何实现线性的合并？
由上图可见，形成的宽为2d的带状区间，最多可能有n个点，合并时间最坏情况下为n^2,。但是，P1和P2中的点具有以下稀疏的性质，对于P1中的任意一点，P2中的点必定落在一个d X 2d的矩形中，且最多只需检查六个点（鸽巢原理/鸽舍原理）。
这样，先将带状区间的点按y坐标排序，然后线性扫描，这样合并的时间复杂度为O(nlogn)，几乎为线性了。
参考：王晓东《算法设计与分析》第二版