动态规划（DP）之多边形游戏问题

问题描述：

　多边形游戏是一个单人玩的游戏，开始时有一个由n个顶点构成的多边形。每个顶点被赋予一个整数值，每条边被赋予一个运算符“+”或“*”。所有边依次用整数从1到n编号。

　　游戏第1步，将一条边删除。

　　随后n-1步按以下方式操作：

　　(1)选择一条边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2；

　　(2)用一个新的顶点取代边E以及由E连接着的2个顶点V1和V2。将由顶点V1和V2的整数值通过边E上的运算得到的结果赋予新顶点。

　　最后，所有边都被删除，游戏结束。游戏的得分就是所剩顶点上的整数值。

　　问题:对于给定的多边形，计算最高得分。

如下图：

　　

数据输入：

 第一行是一个整数N

第二行按照

边     顶点      边     顶点     ….     边     顶点

的顺序以此存放了N个顶点和N条边的标注信息。

问题求解：

 　　当把一条边去除除后，再把它拉直，那么这个问题就可以变成一条链。那么就和以前写的矩阵连乘有几分的相似，其实我们最后要求的是这个链的表达式算式结果的最大值。于是我们就可以想到可以用数组p[i][j]来表示从点i开始，链长为j的算术表达式的最大值，用v[i]存储操作数，op[i]存储操作符。如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生(1≤s≤j-1)，则可在op[i+s]处将链分割为2个子链p[i][s]和p[i+s][j-s]。似乎这样再按照以前解决动态规划题目时的思路，就可以解决问题了。   但是，我们再来考虑一下，由于有两种运算符+和x，并且操作数可能存在负数，那么我们也必须考虑两个负数相乘的结果可能比两个正数要打，所以我们同时还需要记录每个链的最大和最小值，然后判断，如果操作符为+的话，只需要两个链的最大值相加即可，如果操作符是x的话，那么必须把各种情况考虑进来，然后再求出最大值。分析如下：

　　设m1是对子链p[i][s]的任意一种合并方式得到的值，而a和b分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。m2是p[i+s][j-s]的任意一种合并方式得到的值，而c和d分别是在所有可能的合并中得到的最小值和最大值。依此定义有a≤m1≤b，c≤m2≤d

　　(1)当op[i+s]='+'时，显然有a+c≤m≤b+d

　　(2)当op[i+s]='*'时，由于v[i]可取负整数，子链的最大值相乘未必能得到主链的最大值，但是注意到最大值一定在边界点取到，有min{ac，ad，bc，bd}≤m≤max{ac，ad，bc，bd}

换句话说，主链的最大值和最小值可由子链的最大值和最小值得到。例如，当m=ac时，最大主链由它的两条最小子链组成；同理当m=bd时，最大主链由它的两条最大子链组成

问题分析：

    　　 解决该问题可用动态规划中的最优子结构性质来解。

    　　设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。

    　　在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。

    　　设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：

   　　 a=m[i,i+s,0]  b=m[i,i+s,1]  c=m[i+s,j-s,0]  d=m[i+s,j-s,1]

   　　(1) 当op[i+s]=’+’时

    　　　　m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

  　　 (2) 当op[i+s]=’*’时

   　　　　 m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}

综合（1）和（2），将p(i,j)在op[i+s]处断开的最大值记为maxf(i,j,s)最小值记为minf(i,j,s),则

    　由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i]   1<=i<=n m[i,1,1]=v[i]   1<=i<=n

       因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)modn。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

代码实现：

#include<string.h>
#include<stdio.h>
int v[101];
int n;
char op[101];
int minf,maxf;
int m[101][101][2];
void minMax(int i,int s,int j)
{
    int e[5];
    int a=m[i][s][0],
        b=m[i][s][1],
        r=(i+s-1)%n+1,
        c=m[r][j-s][0],
        d=m[r][j-s][1];
    if(op[r]=='t')
    {
        minf=a+c;
        maxf=b+d;
    }
    else
    {
        e[1]=a*c;
        e[2]=a*d;
        e[3]=b*c;
        e[4]=b*d;
        minf=e[1];
        maxf=e[1];
        for(int k=2; k<5; k++)
        {
            if(minf>e[k])
                minf=e[k];
            if(maxf<e[k])
                maxf=e[k];
        }
    }
}
int main()
{
    memset(m,0,sizeof(m));
    scanf("%d",&n);
    getchar();
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%c",&op[i]);
        scanf("%d",&v[i]);
        m[i][1][0]=v[i];
        m[i][1][1]=v[i];
        getchar();
    }
    for(int j=2; j<=n; j++)//链的长度
        for(int i=1; i<=n; i++)//删掉第i条边
            for(int s=1; s<j; s++)//断开的位置
            {
                minMax(i,s,j);
                if(m[i][j][0]>minf)
                    m[i][j][0]=minf;
                if(m[i][j][1]<maxf)
                    m[i][j][1]=maxf;
            }
    int temp=m[1][n][1];
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(temp<m[i][n][1])
            temp=m[i][n][1];
    }
    printf("%d
",temp);
    return 0;
}

结果输出：

（由程序输出可见初始时删除的边为序号1）

参考文献：王晓东《算法设计与分析》