动态规划算法之0-1背包问题

一、问题描述：有n 个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成；

三、动态规划的原理及过程：

　　eg：number＝4，capacity＝8

i	1	2	3	4
w(体积)	2	3	4	5
v(价值)	3	4	5	6

 

1、原理

　　动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

2、过程

　　a) 把背包问题抽象化（X₁，X_2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选），V_i表示第 i 个物品的价值，W_i表示第 i 个物品的体积（重量）；

　　b) 建立模型，即求max(V₁X₁+V₂X₂+…+VnXn)；

　　c) 约束条件，W₁X₁+W₂X₂+…+WnXn<capacity；

　　d) 定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；

　　e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：

　　　　假设(X₁，X₂，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X₂，X₃，…，Xn)是其子问题的最优解，

　　　　假设(Y₂，Y_3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V₂Y₂+V₃Y₃+…+VnYn)+V₁X₁ > (V₂X₂+V₃X₃+…+VnXn)+V₁X_1；

　　　　而(V₂X₂+V₃X₃+…+VnXn)+V₁X₁=(V₁X₁+V₂X₂+…+VnXn)，则有(V₂Y₂+V₃Y₃+…+VnYn)+V₁X₁ > (V₁X₁+V₂X₂+…+VnXn)；

　　　　该式子说明(X₁，Y₂，Y_3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X₁，X₂，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；

　　f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

　　　　第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

　　　　第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

　　　　　　　其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

　　　　由此可以得出递推关系式：

　　　　1) j<w(i)      V(i,j)=V(i-1,j)

　　　　2) j>=w(i)     V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

　　g) 填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

 

　　h) 然后一行一行的填表，

　　　　1) 如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；

　　　　2) 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；

　　　　3) 如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；所以填完表如下图：

 

　　i) 表格填完，最优解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10，但还不知道解由哪些商品组成，故要根据最优解回溯找出解的组成，根据填表的原理可以有如下的寻解方式：

　　　　1) V(i,j)=V(i-1,j)时，说明没有选择第i 个商品，则回到V(i-1,j)；

　　　　2) V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)实时，说明装了第i个商品，该商品是最优解组成的一部分，随后我们得回到装该商品之前，即回到V(i-1,j-w(i))；

　　　　3) 一直遍历到i＝0结束为止，所有解的组成都会找到。

　　j) 如上例子，

　　　　1) 最优解为V(4,8)=10，而V(4,8)!=V(3,8)却有V(4,8)=V(3,8-w(4))+v(4)=V(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被选中，并且回到V(3,8-w(4))=V(3,3)；

　　　　2) 有V(3,3)=V(2,3)=4，所以第3件商品没被选择，回到V(2,3)；

　　　　3) 而V(2,3)!=V(1,3)却有V(2,3)=V(1,3-w(2))+v(2)=V(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被选中，并且回到V(1,3-w(2))=V(1,0)；

　　　　4) 有V(1,0)=V(0,0)=0，所以第1件商品没被选择；

 

　　k) 到此，01背包问题已经解决，利用动态规划解决此问题的效率即是填写此张表的效率，所以动态规划的时间效率为O(number*capacity)=O(n*c)，由于用到二维数组存储子问题的解，所以动态规划的空间效率为O(n*c)；

       L)程序实现：

import java.util.Scanner;  
public class Main {  
    
    public static void zeroOnePack(){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        String packInfo = null;
        String weights = null;
        String values = null;
        while(scanner.hasNextLine()){
            packInfo = scanner.nextLine();
            int packageWeight = Integer.valueOf(packInfo.split(" ")[0]);
            int numbers = Integer.valueOf(packInfo.split(" ")[1]);
            
            weights = scanner.nextLine();
            values = scanner.nextLine();
            String[] weis = weights.split(" ");
            String[] vals = values.split(" ");
            //weight[]数组是从下标0开始存储，索引0存储第一件物品的重量
            int[] weight = new int[numbers];
            int[] value = new int[numbers];
            
            for(int i = 0; i < numbers; i++)
            {
                weight[i] = Integer.valueOf(weis[i]);
                value[i] = Integer.valueOf(vals[i]);
            }
            
            int[][] dp = new int[numbers + 1][packageWeight + 1];
            
            //init
            for(int i = 0; i <= numbers; i++)
                dp[i][0] = 0;
            for(int i = 0; i <= packageWeight; i++)
                dp[0][i] = 0;
        
            //dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]}
            for(int i = 1; i <= numbers; i++)
            {
                for(int j = 1; j <= packageWeight; j++)
                {
                    if(weight[i-1] > j)// 第i件物品的重量大于背包的承重
                
                    {
                        dp[i][j] = dp[i-1][j];
                        continue;
                    }
                    //dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]}
                    if(dp[i-1][j] < dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1];
                    else
                        dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
            System.out.println(dp[numbers][packageWeight]);//输出背包能够装的最大价值
            
            //反向找出 选中的物品(哪些物品装入到背包中了?)
            int j= packageWeight;  
            for(int i = numbers;i>0;i--){
                if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
                    System.out.print(i+"  ");//输出选中的物品的编号
                    j=j-weight[i-1];
                    if(j<0) break;
                }  
        }//end while
    }  
        scanner.close();
}
    // test case
    //10 5
    //2 2 6 5 4
    //6 3 5 4 6
    public static void main(String[] args) {
        zeroOnePack();
    }
}

       M）运行结果：

 由结果可知，最大价值是15，选取的物品是第1，2，5件

参考文献：王晓东《算法设计与分析》

                   https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5818418.html

                   https://www.cnblogs.com/Christal-R/p/Dynamic_programming.html（总结的很好）