蒙特卡罗算法之素数测试

1.、素数测试问题

     数学原理

         Wilson定理：对于给定的正整数n，判定n是一个素数的充要条件是(n-1)! -1(mod n)。
         费尔马小定理：如果p是一个素数，且0<a<p，则a^(p-1)1(mod p)。 例如67是一个素数，则2^66mod67=1.利用费尔马小定理，对于给定的正整数n,可以设计一个素数判定算法。通过计算d=2^(n-1)mod n来判定整数n的素性。当d!=1时，n肯定不是素数；当d=1时，n则可能是素数。但也存在合数n使得2^(n-1)1(mod n)。例如，满足此条件的最小合数是n=341。
         二次探测定理：如果p是一个素数，且0<x<p，则方程x^21(mod p)的解为x=1，p-1。

         Carmichael数：费尔马小定理是素数判定的一个必要条件。满足费尔马小定理条件的整数n未必全是素数。有些合数也满足费尔马小定理的条件，这些合数称为Carmichael数。前3个Carmichael数是561,1105，1729。Carmichael数是非常少的，在1~100000000的整数中，只有255个Carmichael数。

求a^m(mod n)的算法

     设m的二进制表示为bkbk-1…b1b0（bk=1）。
     例：m=41=101001(2)，bkbk-1…b1b0=101001，（k=5）。
     可以这样来求a^m：初始C←1。
     b5=1：C←C^2(=1)，∵bk=1，做C←a*C(=a)；
     b5b4=10：C←C^2(=a^2)，∵bk-1=0，不做动作；
     b5b4b3=101：C←C^2(=a^4)，∵bk-2=1，做C←a*C(=a^5)；
     b5b4b3b2=1010：C←C^2(=a^10)，∵bk-3= b2=0，不做动作；
     b5b4b3b2b1=10100：C←C^2(=a^20)，∵bk-4= b1=0，不做动作；
     b5b4b3b2b1b0=101001：C←C^2(=a^40)，∵bk-5= b0=1，做C←a*C(=a^41)。
     最终要对am求模，而求模可以引入到计算中的每一步：
     即在求得C2及a*C之后紧接着就对这两个值求模，然后再存入C。
     这样做的好处是存储在C中的最大值不超过n-1，
     于是计算的最大值不超过max{(n-1)^2,a(n-1)}。
     因此，即便am很大，求am(mod n)时也不会占用很多空间。

代码实现：

//随机化算法 蒙特卡罗算法 素数测试问题
//#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
 
//计算a^p mod n,并实施对n的二次探测
void power(unsigned int a,unsigned int p,unsigned int n,unsigned int &result,bool &composite)
{
    unsigned int x;
    if(p == 0)
    {
        result = 1;
    }
    else
    {
        power(a,p/2,n,x,composite);        //递归计算
        result = (x*x)%n;                //二次探测
 
        if((result == 1) && (x!=1) && (x!=n-1))
        {
            composite  = true;
        }
 
        if((p%2)==1)
        {
            result = (result*a)%n;
        }
    }
}
 
//重复调用k次Prime算法的蒙特卡罗算法
bool PrimeMC(unsigned int n,unsigned int k)
{
    RandomNumber rnd;
    unsigned int a,result;
    bool composite = false;
 
    for(int i=1; i<=k; i++)
    {
        a = rnd.Random(n-3)+2;
        power(a,n-1,n,result,composite);
        if(composite || (result!=1))
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
 
int main()
{
    int k = 10;
    for(int i=1010;i<1025;i++)
    {
        cout<<i<<"的素数测试结果为："<<PrimeMC(i,k)<<endl;
    }
    return 0;
}

#include"time.h"
//随机数类
const unsigned long maxshort = 65536L;
const unsigned long multiplier = 1194211693L;
const unsigned long adder = 12345L;
 
class RandomNumber
{
    private:
        //当前种子
        unsigned long randSeed;
    public:
        RandomNumber(unsigned long s = 0);//构造函数，默认值0表示由系统自动产生种子
        unsigned short Random(unsigned long n);//产生0：n-1之间的随机整数
        double fRandom(void);//产生[0,1)之间的随机实数
};
 
RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)//产生种子
{
    if(s == 0)
    {
        randSeed = time(0);//用系统时间产生种子
    }
    else
    {
        randSeed = s;//由用户提供种子
    }
}
 
unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)//产生0：n-1之间的随机整数
{
    randSeed = multiplier * randSeed + adder;//线性同余式
    return (unsigned short)((randSeed>>16)%n);
}
 
double RandomNumber::fRandom(void)//产生[0,1)之间的随机实数
{
    return Random(maxshort)/double(maxshort);
}

实现结果：

 参考文献：王晓东《算法设计与分析》第二版

                   https://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/9251589