「JSOI2019」神经网络（容斥+组合计数+背包dp）

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luogu5333

loj3102

Solution

容易发现，一条哈密顿回路本质上就是：把每棵树都拆成若干条有向路径，再把所有的有向路径连接成环，环上的相邻两条有向路径不可以来自同一棵树。

先求出 \(g_{i,j}\) 表示把第 \(i\) 棵树拆成 \(j\) 条有向路径的方案数。

考虑 \(\text{dp}\)，记 \(f_{u,i,0/1/2/3}\) 分别表示：\(u\) 的子树拆成 \(i\) 条路径，\(u\) 是路径起点，是路径终点，单点成路径，既不是路径起点也不是路径终点的方案数。

注意 \(f_{u,i,0/1}\) 不允许 \(u\) 单点成路径。转移随便讨论一下即可。最终 \(g_{i,j}=f_{u,i,0}+f_{u,i,1}+f_{u,i,2}+f_{u,i,3}\)。

接下来，假设我们对于所有的 \(i∈[1,m]\)，已经确定第 \(i\) 棵树拆成 \(a_i\) 条路径，那么如何计算答案呢？

考虑容斥。枚举第 \(i\) 棵树的路径在环上被划分为至多 \(b_i\) 段。我们钦定第 \(m\) 棵树的 \(1\) 号节点所在的路径为环上第一条路径，那么在此条件下的方案数为：

\[(\prod_{i=1}^mC_{a_i-1}^{b_i-1})×(\prod_{i=1}^{m-1}g_{i,a_i}×a_i!)×g_{m,a_m}×(a_m-1)!×\frac{(\sum_{i=1}^{m-1}b_i)!}{\prod_{i=1}^{m-1}b_i!}×C_{(\sum_{i=1}^nb_i)-2}^{b_m-1} \]

其中 \(\prod_{i=1}^mC_{a_i-1}^{b_i-1}\) 表示把每棵树的路径划分成 \(i\) 段的方案数，\(g_{i,a_i}×a_i!\) 表示在第 \(i\) 棵树上选出 \(a_i\) 条路径形成一个排列的方案数。

如果确定了选出的路径形成的排列是哪些，划分成的 \(b_i\) 段分别是什么，问题就转化为：第 \(i\) 种颜色的球有 \(b_i\) 个，同种颜色的球之间没有区别，求把所有的求串成环，使得相邻两个异色的方案数。

钦定环上第一条路径相当于钦定第一个球的颜色一定为 \(m\)，最后一个球的颜色不是 \(m\)，然后断环为链。所以先把前 \(m-1\) 种颜色的球排好（方案数为），最后在中间的 \((\sum b_i)-2\) 个位置中选出 \(b_m-1\) 个位置放颜色为 \(m\) 的球，剩下的空位给其它的球即可。

加上容斥系数之后对答案的贡献即

\[(\prod_{i=1}^mC_{a_i-1}^{b_i-1})×(-1)^{\sum_{i=1}^ma_i-b_i}×(\prod_{i=1}^{m-1}g_{i,a_i}×a_i!)×g_{m,a_m}×(a_m-1)!×\frac{(\sum_{i=1}^{m-1}b_i)!}{\prod_{i=1}^{m-1}b_i!}×C_{(\sum_{i=1}^nb_i)-2}^{b_m-1} \]

可是直接枚举所有 \(a_i,b_i\) 的复杂度是指数级的，考虑优化。

记第 \(i\) 棵树的点数为 \(cnt_i\)。对于第 \(i\) 棵树（\(i∈[1,m-1]\)），枚举 \(j=a_i,k=b_i\)，可以写出这样的一个多项式：

\[\sum_{j=1}^{cnt_i}g_{i,j}×i!\sum_{k=1}^jC_{j-1}^{k-1}×(-1)^{j-k}×\frac{x^k}{k!} \]

然后我们先把这 \(m-1\) 个多项式相乘，再把 \(x^k\) 的系数乘上 \(k!\)。这样得到的 \(x^k\) 的系数 \(A_k\) 相当于：对于 \(i∈[1,m-1]\)，枚举所有 \(a_i,b_i\) 满足 \(\sum_{i=1}^{m-1}b_i=k\)，然后把 $$(\prod_{i=1}^mC_{a_i-1}{b_i-1})×(-1)^{\sum_{i=1}ma_i-b_i}×(\prod_{i=1}^{{m-1}g_{i,a_i}×a_i!)×\frac{(\sum_{i=1}}{m-1}b_i)!}{\prod_{i=1}^{m-1}b_i!}$$ 计入 \(A_k\)。

接下来写出第 \(m\) 个多项式，记 \(B_k\) 表示这个多项式第 \(k\) 项的系数：

\[\sum_{j=1}^{cnt_m}g_{m,j}×(j-1)!×\sum_{k=1}^jC_{j-1}^{k-1}×(-1)^{j-k}×x^k \]

最后枚举 \(k=\sum_{i=1}^{m-1}b_i\)，再枚举 \(j=b_m\)，把 \(A_k×B_j×C_{k+j-2}^{j-1}\) 计入答案即可。

时间复杂度 \(O((\sum cnt_i)^2)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

template <class t>
inline void read(t & res)
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
		res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

const int e = 5005, o = 305, mod = 998244353;

int g[o][e], f[e][e][4], sze[e], m, n, ans, tmp[e][4], cnt, pre[e], h[e], p[o][e];
int adj[e], nxt[e << 1], go[e << 1], num, tot[o], fac[e], inv[e], a[o][e];

inline void add(int &x, int y)
{
	(x += y) >= mod && (x -= mod);
}

inline int plu(int x, int y)
{
	add(x, y);
	return x;
}

inline int mul(int x, int y)
{
	return (ll)x * y % mod;
}

inline int ksm(int x, int y)
{
	int res = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) res = mul(res, x);
		y >>= 1;
		x = mul(x, x);
	}
	return res;
}

inline void link(int x, int y)
{
	nxt[++num] = adj[x]; adj[x] = num; go[num] = y;
	nxt[++num] = adj[y]; adj[y] = num; go[num] = x;
}

inline int c(int x, int y)
{
	if (x < y) return 0;
	if (x == y) return 1;
	return mul(fac[x], mul(inv[y], inv[x - y]));
}

inline void clear()
{
	int i, j, k; num = ans = 0;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		adj[i] = 0;
		for (j = 1; j <= n; j++)
			for (k = 0; k <= 3; k++)
				f[i][j][k] = 0;
	}
}

inline void dfs(int u, int pa)
{
	sze[u] = f[u][1][2] = 1;
	int i, j, k, l;
	for (i = adj[u]; i; i = nxt[i])
	{
		int v = go[i];
		if (v == pa) continue;
		dfs(v, u);
		for (j = 1; j <= sze[u] + sze[v]; j++)
			for (k = 0; k <= 3; k++)
				tmp[j][k] = f[u][j][k], f[u][j][k] = 0;
		for (j = 1; j <= sze[u]; j++)
			for (k = 1; k <= sze[v]; k++)
			{
				int s = plu(f[v][k][0], f[v][k][2]);
				add(f[u][j + k - 1][0], mul(tmp[j][2], s));
				add(f[u][j + k - 1][3], mul(tmp[j][1], s));
				
				s = plu(f[v][k][1], f[v][k][2]);
				add(f[u][j + k - 1][1], mul(tmp[j][2], s));
				add(f[u][j + k - 1][3], mul(tmp[j][0], s));
				
				s = 0;
				for (l = 0; l <= 3; l++)
					add(s, f[v][k][l]);
				for (l = 0; l <= 3; l++)
					add(f[u][j + k][l], mul(tmp[j][l], s));
			}
		sze[u] += sze[v];
	}
}

inline void solve(int k)
{
	read(n); clear();
	cnt += n; tot[k] = n; pre[k] = tot[k] + pre[k - 1];
	int i, x, y, j;
	for (i = 1; i < n; i++)
		read(x), read(y), link(x, y);
	dfs(1, 0);
	for (i = 1; i <= n; i++)
		for (j = 0; j <= 3; j++)
			add(g[k][i], f[1][i][j]);
}

int main()
{
	read(m);
	int i, j, k;
	for (i = 1; i <= m; i++)
		solve(i);
		
	fac[0] = 1;
	for (i = 1; i <= cnt; i++)
		fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
	inv[cnt] = ksm(fac[cnt], mod - 2);
	for (i = cnt - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = mul(inv[i + 1], i + 1);
		
	for (i = 1; i < m; i++)
		for (j = 1; j <= tot[i]; j++)
			g[i][j] = mul(g[i][j], fac[j]);
		
	for (j = 1; j <= tot[m]; j++)
		g[m][j] = mul(g[m][j], fac[j - 1]);
		
	for (i = 1; i < m; i++)
		for (j = 1; j <= tot[i]; j++)
			for (k = 1; k <= j; k++)
			{
				int v = mul(g[i][j], c(j - 1, k - 1));
				v = mul(v, inv[k]);
				if ((j - k) & 1) add(p[i][k], mod - v);
				else add(p[i][k], v);
			}
	
	for (j = 1; j <= tot[m]; j++)
		for (k = 1; k <= j; k++)
		{
			int v = mul(g[m][j], c(j - 1, k - 1));
			if ((j - k) & 1) add(p[m][k], mod - v);
			else add(p[m][k], v);
		}
			
	a[0][0] = 1;
	for (i = 1; i < m; i++)
		for (j = 1; j <= pre[i]; j++)
			for (k = 1; k <= j && k <= tot[i]; k++)
				add(a[i][j], mul(a[i - 1][j - k], p[i][k]));
				
	for (i = 1; i <= pre[m - 1]; i++)
		for (j = 1; j <= tot[m]; j++)
		{
			int x = mul(a[m - 1][i], fac[i]), y = p[m][j];
			add(ans, mul(x, mul(y, c(i + j - 2, j - 1)))); 
		}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}