[国家集训队]和与积（莫比乌斯反演）

Problem

• 给出 \(n\) ，统计满足以下条件的数对 \((a,b)\) 的个数：
  1.\(1≤a<b≤n\)
  2.\(a+b|ab\)
• \(n<2^{31}\)

Solution

• 设 \(d=gcd(a,b)，a=di，b=dj\)，那么根据题意有：

• \[(di+dj)|d^2ij \]

• 即：

• \[(i+j)|ijd \]

• 又因为：

• \[gcd(i,j)=1 \]

• 所以：

• \[ij\%(i+j)!=0 \]

• 那么：

• \[(i+j)|d \]

• 那么问题转化为求满足以下条件的三元组 \((i,j,d)\) 的个数：
  1.\(gcd(i,j)=1\)
  2.\(i<j\)
  3.\(di,dj≤n\)

• \[ans=\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{i-1}\lfloor{\frac{\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor}{i+j}}\rfloor [gcd(i,j)=1] \]

• \[ans=\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{i-1}\lfloor{\frac{n}{i(i+j)}}\rfloor\sum_{k|gcd(i,j)}μ(k) \]

• 设 \(i=xk，j=yk\)，那么:

• \[ans=\sum_{k=1}^{\sqrt{n}}μ(k)\sum_{x=1}^{\lfloor{\frac{\sqrt{n}}{k}}\rfloor}\sum_{y=1}^{x-1}\lfloor{\frac{\lfloor{\frac{n}{xk^2}}\rfloor}{x+y}}\rfloor \]

• 那么枚举 \(x,k\)，然后对 \(x+y\) 整除分块即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

const int e = 1e6 + 5;
int n, mul[e];
bool bo[e];
ll ans;

inline ll solve(int x, int k)
{
	int m = 2 * x, j, t = n / (x * k * k), i;
	ll res = 0;
	for (i = x + 1; i < m; i = j + 1)
	{
		if (!(t / i)) return res;
		j = min(m - 1, t / (t / i));
		if (j - i + 1 >= 0) res += (ll)(j - i + 1) * (t / i);
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin >> n;
	int s = sqrt(n), x, k, i, j;
	for (i = 1; i <= s; i++) mul[i] = 1;
	for (i = 2; i <= s; i++)
	if (!bo[i])
	{
		mul[i] = -1;
		for (j = 2 * i; j <= s; j += i)
		{
			bo[j] = 1;
			if (j / i % i == 0) mul[j] = 0;
			else mul[j] *= -1;
		}
	}
	for (k = 1; k <= s; k++)
	if (mul[k])
	for (x = 1; x * k * k <= n && x * k <= s; x++)
	ans += mul[k] * solve(x, k);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}