「HNOI2019」JOJO（kmp+border理论）

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LOJ#3055

Solution

Part 1：不含 2 操作

• 我们把相邻且相同的字母看作一段，令 (a[i]) 表示第 (i) 段的字母，(b[i]) 表示第 (i) 段的长度。
• 令 (nxt[i]) 表示 (S[1dots i]) 的最长 ( ext{border}) 长度。
• 如果 (nxt[i]=j)，那么有：(forall kin[1,j],a[k]=a[i-j+k],forall k∈[2,j],b[k]=b[i-j+k],b[1]le b[i-j+1])。
• 求 (nxt) 数组的方法和 ( ext{kmp}) 类似。
• 如果我们已经求出了 (nxt[1]sim nxt[i-1])，那么可以这样计算第 (i) 段字母增加的答案：
• 设变量 (maxl)，一开始令 (j=nxt[i-1],maxl=0)，判断是否 (a[j+1]=a[i])。
• 如果是，那么第 (i) 段字母中，位置 (maxl+1sim b[j+1]) 的失配指针（不是 (nxt) 数组，是题目所求）都在第 (j+1) 段中。
• 接着令 (maxl=max(maxl,b[j+1]),j=nxt[j])，直到 (j=0) 或 (maxl=b[i])。
• 注意特判失配指针在第 (1) 段的情况。
• 时间复杂度 (O(n))。

Part 2：正解

• 考虑把所有操作建成一棵树。树上的每个节点都对应某个时刻的字符串。
• 对于树上的每一条边 (x→y)，都有边权 ((a,b))，表示 (y) 是由 (x) 在末尾加上 (b) 个字符 (a) 得到的。
• 但是 ( ext{kmp}) 的时间复杂度是均摊的，也就是说，直接放在树上做，时间复杂度是错的。
• 考虑优化 ( ext{kmp}) 跳 (nxt) 的过程。
• 一开始令 (ls=i-1)，(j=nxt[i-1])。
• 如果 (j+1) 和 (i) 失配了，分情况讨论：

	if (ls - j == j - nxt[j])
	{
		int per = j - nxt[j];
		ls = j % per + per;
		j %= per;
	}
	else ls = j, j = nxt[j];

• 给出一个结论：把字符串 (S) 的所有 ( ext{border}) 按长度排序后可分为 (O(log |S|)) 段，每段是一个等差数列。（后面会证明）
• 考虑这样做的正确性：(j+1) 和 (i) 失配了，由于 (ls-j=j-nxt[j])，所以 (S[1dots ls]) 存在长度为 (j-nxt[j]) 的周期。
• 也就是说，在位置 (j+1-per,j+1-2per......) 还是失配的。所以直接让 (j\%=per) 即可。
• (nxt[m-1],nxt[nxt[m-1]],......) 都是 (m-1) 的 ( ext{border})。所以跳 (nxt) 的过程中，每个时刻的 (j) 都是 (m-1) 的 ( ext{border})。
• 而上述情况中，(ls,j,nxt[j],nxt[nxt[j]],......) 形成了一个等差数列。
• 所以令 (j\%=per) 就直接跳过这个等差数列了。
• 当 (ls-j e j-nxt[j]) 时，我们可以认为是跳过了 (ls) 所在的等差数列。
• 因此每次都会跳过一个等差数列，跳的次数上限 (O(log i))。
• 也就是说，( ext{kmp}) 可以做到单次 (O(log n))。
• 总时间复杂度 (O(nlog n))。

Part 3：证明结论

• 首先证明：字符串 (S[1dots n]) 的所有不小于 (frac{n}{2}) 的 ( ext{border}) 长度组成一个等差数列。
• 设 (S) 的最小 ( ext{period}) 长度为 (p)，若 (ple frac{n}{2})，则存在长度 (ge frac{n}{2}) 的 ( ext{border})。
• 可得 (S) 有长度为 (kp(1le kle frac{n}{p})) 的周期，也就是说 (S) 有长度为 (n-kp) 的 ( ext{border})，(k) 可以取 (1sim frac{n}{p}) 中的任意一个。
• 而最小的 (n-kp) 肯定小于 (frac{n}{2})。
• 因为最小的 (n-kp) 就是 (n\% p)，而 (ple frac{n}{2})，所以 (n\% p<frac{n}{2})。
• 因此所有 (ge frac{n}{2}) 的 ( ext{border}) 都能表示成 (n-kp)，证毕。
• 接下来，将 (S[1dots n]) 的 ( ext{border}) 按长度分类：([1,1],[2,3],[4,7],dots ,[2^{k-1},2^k-1],[2^k,n-1])，其中 (2^{k+1}>n)。
• 对于两个字符串 (u,v)，若 (|u|=|v|)，则记 (P(u,v)=left{k:k>frac{|u|}{2},u[1dots k]=v[|v|-k+1dots |v|] ight})。
• 长度在 ([2^{i-1},2^i]) 之间的 ( ext{border}) 即 (P(S[1dots 2^i],S[n-2^i+1dots n]))。
• 长度在 ([2^k,n-1]) 之间的 ( ext{border}) 即 (P(S,S))。
• 下面证明 (P(u,v)) 中的元素能组成一个等差数列：
• 取出 (P(u,v)) 中最大的元素 (x)，剩下的元素都是 (u[1dots x]) 的 ( ext{border})。
• 根据：字符串 (S) 的所有不小于 (frac{|S|}{2}) 的 ( ext{border}) 长度组成一个等差数列，可知 (P(u,v)) 中的元素能组成一个等差数列。
• 证毕。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

template <class t>
inline void read(t & res)
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
	res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

template <class t>
inline void print(t x)
{
	if (x > 9) print(x / 10);
	putchar(x % 10 + 48);
}

inline char getch()
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isalpha(ch));
	return ch;
}

const int e = 2e5 + 5, mod = 998244353;

char c[e], d[e];
int adj[e], lst[e], go[e], num, cnt[e], n, ans[e], pos[e], nxt[e], m, sum[e], len[e];
int pre[e];

inline void add(int &x, int y)
{
	(x += y) >= mod && (x -= mod);
}

inline void link(int x, int y, char z, int t)
{
	lst[++num] = adj[x]; adj[x] = num; go[num] = y;
	c[num] = z; cnt[num] = t;
}

inline int ask(int l, int r)
{
	if (l > r) return 0;
	return (ll)(r - l + 1) * (l + r) / 2 % mod;
}

inline void dfs(int u)
{
	for (int i = adj[u]; i; i = lst[i])
	{
		int v = go[i], x = cnt[i];
		char y = c[i];
		m++; sum[m] = 0; len[m] = x; d[m] = y;
		pre[m] = pre[m - 1] + x;
		if (m != 1)
		{
			int j = nxt[m - 1], ls = m - 1;
			while (j > 0 && (d[j + 1] != d[m] || len[j + 1] != len[m]))
			{
				if (ls - j == j - nxt[j])
				{
					int per = j - nxt[j];
					ls = j % per + per;
					j %= per;
				}
				else ls = j, j = nxt[j];
			}
			if (j > 0 || (d[j + 1] == d[m] && len[j + 1] == len[m])) nxt[m] = j + 1;
			else if (d[1] == d[m] && len[1] <= len[m]) nxt[m] = 1;
			else nxt[m] = 0;
			
			j = nxt[m - 1]; ls = m - 1;
			int mx = 0;
			while (j > 0 && mx < len[m])
			{
				if (d[j + 1] == d[m] && len[j + 1] > mx)
				{
					add(sum[m], ask(pre[j] + mx + 1, pre[j] + min(len[j + 1], len[m])));
					mx = len[j + 1];
				}
				if (ls - j == j - nxt[j])
				{
					int per = j - nxt[j];
					ls = j % per + per;
					j %= per;
				}
				else ls = j, j = nxt[j];
			}
			if (mx < len[m])
			{
				if (d[1] == d[m])
				{
					int mid = min(len[1], len[m]);
					add(sum[m], ask(mx + 1, mid));
					sum[m] = (sum[m] + (ll)(len[m] - max(mx, mid)) * len[1]) % mod;
				}
			}
		}
		else sum[1] = ask(0, len[1] - 1);
		add(sum[m], sum[m - 1]);
		ans[v] = sum[m];
		dfs(v);
		m--;
	}
}

int main()
{
	read(n);
	int i, op, x; char y;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		read(op); read(x);
		if (op == 1)
		{
			if (!x)
			{
				pos[i] = pos[i - 1];
				continue;
			}
			y = getch();
			pos[i] = i;
			int z = pos[i - 1];
			link(z, i, y, x);
		}
		else pos[i] = pos[x];
	}
	dfs(0);
	for (i = 1; i <= n; i++) print(ans[pos[i]]), putchar('
');
	return 0;
}