递归的定义
递归和迭代是编程中最为经常使用的基本技巧。并且递归经常比迭代更为简洁和强大。它的定义就是:直接或间接调用自身。经典问题有:幂运算、阶乘、组合数、斐波那契数列、汉诺塔等。
其算法思想:
- 原问题可分解子问题(必要条件);
- 原与分解后的子问题相似(递归方程);
- 分解次数有限(子问题有穷);
- 终于问题可直接解决(递归边界);
对于递归的应用与优化,直接递归时要预估时空复杂度。以免出现用时过长或者栈溢出。优化递归就是以不做反复的事儿为原则进行。对于常见数列问题。经常会有递推公式。也即 f(n) 和 f(n-1) 的关系式,由递推公式事实上就非常easy写出递归算法的代码,这里要又一次具体说一下递归和递推的差别:
- 递归:将问题规模为n的问题,降解成若干个规模为n-1的问题,依次降解,直到问题规模可求。求出低阶规模的解,代入高阶问题中。直至求出规模为n的问题的解, ( n -> 0)。
- 递推:构造低阶的规模(如规模为i,一般 i=0 ) 的问题。并求出解,推导出问题规模为i+1的问题以及解,依次推到规模为n的问题。 (0 -> n);
高速幂
直接转换成代码。时间复杂度由朴素幂运算的 O(n) -> O(logn) :
/* a 的 n 次方的高速幂,C 代码 */ int quickpower(int a, int n) { if (n == 0) return 1; if (n % 2 == 1) return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2) * a; else return quickpower(a, n / 2) * quickpower(a, n / 2); }
斐波那契数列
转换为代码,时间复杂度由直接递归的 O(n^2) -> O(logn) , 以下的实验用 Python 实现,假设用 C++ 重载乘法运算符。则能够非常大程度复用高速幂代码了就:
from time import clock from functools import reduce # 递归计算斐波那契数列 , python3 实现 def fib1(n): if n <= 1 : return 1 else : return fib1(n - 1) + fib1(n - 2) # 计算 a, b (都是 2×2 的矩阵) 的乘积 def mul(a, b): r = [[0, 0], [0, 0]] r[0][0] = a[0][0] * b[0][0] + a[0][1] * b[1][0]; r[0][1] = a[0][0] * b[0][1] + a[0][1] * b[1][1]; r[1][0] = a[1][0] * b[0][0] + a[1][1] * b[1][0]; r[1][1] = a[1][0] * b[0][1] + a[1][1] * b[1][1]; return r; # 递归加速计算斐波那契数列 O(n^2) -> O(logn) def fib(n): if n == 0: return [[1, 0], [0, 1]] if n == 1: return [[1, 1], [1, 0]] if n % 2 == 0 : return mul(fib(int(n / 2)), fib(int(n / 2))) else: return reduce(mul,[fib(int(n / 2)),fib(int(n / 2)),[[1, 1], [1, 0]]]) if __name__ == '__main__': starttime = clock() print(fib1(35)) endtime = clock() print('直接计算用递归:', endtime - starttime) starttime = clock() print(fib(35)[0][0]) endtime = clock() print('矩阵递归幂加速:', endtime - starttime) ''' 试验执行结果: 14930352 直接计算用递归: 5.524596036360783 14930352 矩阵递归幂加速: 0.00015129910309763517 '''
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