欧拉函数
对于一个正整数$x$，定义它的欧拉函数$phi (x)$，表示$[1,x-1]$中与$x$互质的数的个数。
定义$p$为质数，那么可得以下定理：
1,$phi (1)=1$，易证，从质数的定义中就知道1与1互质；
2,$phi (p)=p-1$，这个也很容易证明，因为$p$是质数所以与任何正整数都互质；
3,如果$p|x$，$phi (x*p)=phi (x) * p$，否则$phi (x*p)=phi (x) * (p-1)$;额，这个蒟蒻不会证，自己百度吧（>.<）；
4,$phi (p^x)= p^x-p^{x-1}$，证明：因为$p$是质数，所以在小于$p^x$的数中与它互质的数也就是不包含$p$这个质数的数，而包含$p$的数一共有$p^{x-1}$个，所以小于且与$p^x$互质的数为$p^x-p^{x-1}$个。得证。（当然，这个式子有时也写成$phi (p^x)=p^x*(1-frac {1}{p})$）。
5,设另一个质数$q$，那么$phi (q*p)= phi (q) * phi (p)=(q-1)*(p-1)$，证明：因为$q,p$都是质数，所以$q*p$的因数除了1和它本身外就只有$q,p$，那么与它互质的数的个数其实就是与$q,p$互质的数的个数之积。
6,设$n=prod^k_{i=1}p_i^{a_i}$为 $n$ 的素数幂乘积表达式，$phi (n)=n*prod^k_{i=1}(1-frac {1}{p_i})$。证明：
$phi (n)=prod^k_{i=1}phi (p_i^{a_i})$
$=prod^k_{i=1}p_i^{a_i}*(1-frac {1}{p_i})$
$=n*prod^k_{i=1}(1-frac {1}{p_i})$
了解了以上内容，那么怎么求欧拉函数呢？
为了求欧拉函数，就有了下面要讲的欧拉筛。
欧拉筛
实际上思想和埃氏筛的优化版本有些相似，枚举一个数$x$的时候枚举比它小的质数$p$，因为$phi (x)$和$phi (p)$都已经求出来了，就可以用上面的定理3求出$phi (x*p)$。
Code：
int top=0,k,phi[N],q[N];phi[1]=1; for(int i=2;i<N;i++){ if(!vis[i])phi[q[++top]=i]=i-1; for(int j=1;j<=top&&(k=i*q[j])<N;j++){ vis[k]=true; if(i%q[j]) phi[k]=phi[i]*(q[j]-1); else { phi[k]=phi[i]*q[j];break;} } }
不过实际上有时候我们只需要用几个数的欧拉函数，而且可能范围还很大，这时候用线性筛就太不划算了，这里可以用上面的定理6直接求解任意一个数的欧拉函数。
Code：
inline int euler(int x) { int ret=x; for(int i=2;i*i<=x;i++){ if(x%i==0){ ret=ret/i*(i-1); while(x%i==0)x/=i; } } if(x>1)ret=ret/x*(x-1); return ret; }
两种求法各有优缺点，根据具体需要选择使用。
欧拉定理与扩展欧拉定理
欧拉定理：对于互质的整数$a,n$，有$a^{phi (n)}equiv 1pmod n$；
证明：
1，若$n$为质数，那么$phi (n) = n-1$，由费马小定理$a^{p-1} equiv 1 pmod p$即可证得。
2，若$n$不是质数，那么设集合$Z={ x_1,x_2,...,x_{phi (n)} }$表示小于且与$n$互质的正整数的集合，那么因为$a$与$n$也互质，那么$a * x_i$与$n$也互质。又对于任意的$x_i,x_j,i eq j$，都有$a * x_i \% n eq a * x_j \% n$（由取模的消去律可得）。那么就有
$a^{phi (n)}*x_1*x_2*...*x_{phi (n)} pmod n$
$equiv (a*x_1)*(a*x_2)*...*(a*x_{phi (n)}) pmod n$
$equiv ((a*x_1 \% n)*(a*x_2 \% n)*...*(a*x_{phi (n)} \% n)) pmod n$
$equiv x_1*x_2*...*x_{phi (n)} pmod n$
$equiv 1 pmod n$
又由消去律得到$a^{phi (n)} equiv 1pmod n$。
扩展欧拉定理：
$a^bequiv egin{cases}a^{b\%phi(p)}pmod p & gcd(a,p)=1 \a^bpmod p & gcd(a,p) eq1&&b<phi(p)\a^{b\%phi(p)+phi(p)}pmod p&gcd(a,p) eq1&&bgeqphi(p) end{cases}$
额这个实在是懒，真的不想证（$LaTeX$打公式累。。。>.<）。