数学搬运工

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导数的运算

 

y=f(x)的反函数是x=g(y), 则有y'=1/x'.

若h(x)=f(g(x)),  则h‘(x)=f’(g(x))g’(x).

 

（C为常数）

 

 

 

 

 

 

积分

∫，积分是微分的逆运算（拉丁文summa首字母的拉长，读作：“sum”），即知道了函数的导函数，反求原函数。

 

 

 

 

泰勒中值定理

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

 

 

其中，  表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小(不是很懂。。我基本都把它当成0)。

 

 

泰勒公式转换

若用x0=0，则该式又叫麦克劳林级数。即  f(x)=

 

 

可以依次定义多项式A(x)的指数运算和对数运算

　　指数：

　　　　　　f(x)=e^x.

　　　　　　f(A(x))=∑Aⁱ(x)/i!      (i>=0)

　　注：【未经测试】臆想得出，当求得多项式的系数在%意义下时， A(x)强制要求常数项为0，不然在牛跌到最底层时，exp(一个非零数)或ln(一个非1数) 无法在%意义下表示（至少我不会。。）

　　　　所以如果是ntt的题，常数项要求为0，如果遇到此类问题，，糊一个办法：在求exp或ln之前先*x，求完以后再处理回来，也许可行。。      或者用fft。。

 

　　对数：

　　　　　　f(x)=ln(1-x).

　　　　　　f(A(x))=∑Aⁱ(x)/i　　  (i>=1)　　　　同上原因，A(x)常数项必须为0

　　　　　　知道了如何求ln(1-A(x)), 那么求ln(B(x)) 套一下就行。

　　　　　　一样的 强制要求B(x)常数项为1

 

 

泰勒公式应用

已经知道了一个函数 G(z)，求一个多项式 F(z) (%z^n下)，满足方程

现在假设已经求出了

则可用牛顿迭代法推出

再把这个应用到别的多项式问题，用途就很广了。

以下举例 ， 可以用这个通式推得的 " 求exp[A(x)]" ：

　　定义：A,B,G为模x^n意义下的多项式，

　　已知A, 且已用牛顿迭代法在前一层中求出了G(% x^(n/2)下)，求B

 　　exp[A(x)]　　　　复杂度O(n·log(n))

　　　　求B=e^A (%x^n)

　　　　设f(x)=ln(x)-A   , 则f(B)=ln(B)-A=0，

　　　　代入通式可得B=(1+A-ln(G))*G

　　ln(G)怎么求呢？：

　　ln[A(x)]　　　　复杂度O(n·log(n))

　　　　ln(A)=∫(ln(A))'=∫(A'/A).  (%x^n)

 那么A^k  (k为有理数) 也可以求了， A^k=e^k·ln(A)

 

 

组合数有用的公式：

上面那个 是 下标从1开始的卡特兰数，

另一个从0开始的也是一样的，

就是 f_n=f₀*f_n-1+f₁*f_n-2+……+f_n-1*f₀

这样的f_n实际上就是原来的h_n+1

对应的问题  比如说 1~n依次入栈，问出栈顺序有几种。即f_n。

(每次把一个元素自成一个轮换，或放在之前的任何一个元素右边) 

 另一种O(m)计算方法: (考虑容斥)

　　

两种斯特林数相关的公式：

第一类斯特林数： 

第二类斯特林数：对应贝尔数

用x种颜色为n个点染色，方案数显然是x^n；但是我们也可以用另外一个方法表示，那就是枚举同种颜色的集合是什么（斯特林子集数），然后从x个颜色里选出不同的颜色赋给这些集合（下降幂）。

 用n颗珠子串成若干串项链，其中每串项链上珠子的颜色必须相同，那么我们就可以枚举项链的组成（第一类斯特林数），然后统一给每串项链分配颜色（x^k）；如果用另外一种方法表示的话，我们考虑按照编号从小到大加入每个珠子，每个珠子可以选择在x种颜色里面选一种并且自己成为一串新的项链，也可以选择接在之前某个珠子后面并继承一样的颜色，那么我们的操作方案数是 x的n次上升幂

下降幂：  a^b = a*(a-1)*(a-2)*...*(a-b+1)

a^b = a! / (a-b)! = C(a,b) * b!

 

已经有 a^k = ∑_x=0~kS(k,x)*a^x

得出  ∑_i=0~n i^k = ∑_i=0~n ∑_x=0~k S(k,x)*i^x

又有 ∑_i=0~ni^k = k! * ∑_i=0~n C(i,k) = k! * C(n+1,k+1) = (n+1)^(k+1) /(k+1)

伯努利数

伯努利数满足条件，且有

     

这是伯努利数的O(n^2)递推。另外 ，伯努利数的 生成函数是 x/(e^x-1)。所以也有nlog(n)的多项式求逆 递推。

 

利用伯努利数可以求自然数幂和

当k不为0时：

预处理完伯努利数后，单次询问是O(k)的。

证明可以看康复计划，找到的唯一简洁易懂的博客啊。