TAT快noip了才开始去接触数论（真心不敢学。。）这里做一下整理吧（都是些定义之类的东西= =）
欧几里德：gcd(a,b)=gcd(b,a%b);具体证明见百科？
扩展欧几里德:
求a*x+b*y=gcd(a,b);
因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)即gcd(b,a-a/b*b);
所以可以递归求解：
递归到b=0时显然gcd为a，x=1,y=0;
已知b*x'+(a-a/b*b)*y'=gcd(b,a-b/b*b)=gcd(a,b)=a*x+b*y;
b*x'+(a-a/b*b)*y' = a*y'+b*(x'-a/b*y');
所以x=y';y=x'-a/b*y';
然后解显然不只一个。。设我们一开始求出来的解为x0，y0
x = x0 + b/Gcd(a, b) * k
y = y0 - a/Gcd(a, b) * k（k为任意整数）（代入一下就知道正确性了。。）
有的时候（似乎很多时候？）gcd(a,b)=1.....
各种低级应用：
不定方程向：
求x,y，使a*x+b*y=c;（只有c为gcd(a,b)的倍数时才有解）
解就是a*x+b*y=gcd(a,b)的每个解乘上c/gcd(a,b)。。或者说是a/gcd(a,b)*x+b/gcd(a,b)=1的每个解乘上c
解模线性方程（最基本的同余方程）ax ≡ b(mod p)
因为a*x mod p实际就是a*x-a*x/p*p..所以等价于解不定方程 a*x+p*y=b
乘法逆元向：
满足b*k≡1 (mod p)的k值就是b关于p的乘法逆元。
应用：
求（a/b） mod p的值时，a过大等等感人情况（比如求模意义下较大的组合数或者卡特兰数或者是奇怪的数学题？）
求b关于p的乘法逆元k，(a*k) mod p的结果与(a/b) mod p等价
证明：
已求出b*k≡1(mod p);
即b*k=p*x+1;
所以k=(p*x+1)/b;
a*k=a/b*(p*x+1)
(a*k) mod p
=(a/b*(p*x+1))mod p
=(a/b*p*x+a/b)mod p
=(a/b)mod p
求逆元：
a*k≡1(mod p)即a*k=p*x+1
相当于解不定方程a*k-p*x=1(a,p已知)
素数线性筛：
万年大坑现在才来填QAQ。。虽然以前用埃氏筛法似乎姿势好可以混过去？
埃氏筛法的缺点是合数可能会被多次筛到（取决于它有多少个质因数）
现在对于每个数i，
1、若i为素数，枚举不大于i的素数j，则i*j为合数（此时不可能有重复）
2、 i为合数，则设i=p1^a1*p1*a2*p3^a3。。。。（整数分解）
枚举所有小于或等于p1的素数j，i*j为合数
不会重复计算是因为每个数都是被它的最小质因数筛到的
欧拉函数线性筛：
设a为n的某个质因数，
1、若n/a整除a,则phi(n)=phi(n/a)*a（每个与n/a互质的数也与a互质）
2、 若n/a不整除a，则phi(n)=phi(n/a)*（a-1）（因为a是素数，phi(a)=a-1,gcd(a,n/a)=1,由欧拉函数的积性phi(n)=phi(n/a)*phi(a)......）
感觉今年noip考数论的话我就得直接退役了QAQ
UPD:2333今年没数论。。然而还是不会写的题还是不会TAT