生成函数

母函数

定义

• 又称生成函数，用多个独立多项式相乘来解决组合问题。
• 只关心多项式的系数，而不关心变量x的取值

普通型母函数

HDU 1085

• 题意：给你1,2,5这几个硬币，每一个有a,b,c个，问你最小的不能达到的价值是多少？

• 代码

  #include<iostream>
  #include<cstring>
  using namespace std;
  const int maxn = 1e4;
  int a,b,c;//1 2 5硬币的数量 
  int t1[maxn];//中间结果存放系数 
  int t2[maxn];//中间结果 存放 
  int r[maxn];//最终结果存放 
  int main(){
  while(cin>>a>>b>>c){
      if(a + b + c == 0) break;
      int limit = a + 2*b + 5*c;//最多能表示的钱
      memset(r , 0 , sizeof r);
      for(int i=0; i<=limit+1; i++){
          t1[i] = t2[i] = 1;
      }
      for(int i=0; i<=a; i++){ //枚举第一个多项式的次数 i
          for(int j=0; j<=2*b; j+=2){ //枚举第二个多项式的次数 j
              r[i+j] += t1[i]*t2[j] ;//得到的是对i+j次数的贡献 
          }
      } 
      for(int i=0; i<=a+2*b; i++){ //多项式1和多项式2相乘的中间结果最高次数不超过a+2b 
          t1[i] = r[i];//t1暂存多项式1和多项式2相乘的中间结果 t2现在代表多项式3的系数 
          r[i] = 0;
      }
      
      for(int i=0; i<=a+2*b; i++){
          for(int j=0; j<=5*c; j+=5){
              r[i+j] += t1[i]*t2[j];
          }
      } 
  
      for(int i=0; i<=limit+1; i++){
          if(r[i] == 0){
              cout<<i<<endl;
              break;
          }
      }
  } 
  return 0;
  } 
  

HDU 1171

• 题意：题目大意有n个物品，每个物品都有价值v和数量m，要分成两堆，使价值尽量接近
• 解法1：当成多重背包做，先转化为0-1背包，然后把背包容量定义成总价值的一般，并且定义没见物品的价值和重量一样，然后解0-1背包问题
• 解法二：用母函数做。相当于各种物品生成的多项式独立，最后乘起来可以得到各种组合价值的方案数量，从sum/2往后找第一个系数不为0的项即可

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1e6;
const int N = 1010;
int t1[maxn];//中间结果存放系数 
int t2[maxn];//中间结果 存放 
int r[maxn];//最终结果存放 
int n;
int v[N],num[N];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	while(cin>>n && n >= 0){
		if(n == 0) cout<<"0 0"<<endl; 
		int sum = 0;
		for(int i=1; i<=n; i++){
			cin>>v[i]>>num[i];
			sum += v[i]*num[i];
		}
		
		for(int i=0; i<=sum; i++){
			t1[i] = 0;
			t2[i] = 0;
		}
		//第一个多项式 
		for(int i=0; i<=v[1]*num[1]; i+=v[1]){
			t1[i] = 1;
		}
		//最高次记录 
		int tot = v[1]*num[1];
		
		for(int i=2; i<=n; i++){ //逐步乘多项式 
			for(int j=0; j<=tot; j++){ //累积多项式 
				for(int k=0; k<=v[i]*num[i]; k+=v[i]){ //当前多项式 
					t2[j+k] += t1[j];
				}
			}
			//重新布局
			tot += v[i]*num[i];
			for(int i=0; i<=tot; i++){
				t1[i] = t2[i];//存到中间结果 
				t2[i] = 0;
			}
			 
		}
		int half = (tot+1) / 2;
		for(int i=half; i<=tot; i++){
			if(t1[i] != 0){
				cout<<i<<" "<<sum-i<<endl;
				break;
			}
		}
	} 
	return 0;
} 

HDU 1709 放砝码

• 题意：给定几种重量的砝码，每种砝码只有一个，砝码可以放在天平左右两边，问不能称出来的重量有哪些？

• 思路：分两种情况讨论，放在一边，放在两边，只要进行加减就可以了，减的时候取绝对值。

  #include<iostream>
  #include<cstring>
  #include<cmath>
  using namespace std;
  const int maxn = 1e4+100;
  const int N = 110;
  int t1[maxn];//中间结果存放系数 
  int t2[maxn];//中间结果 存放 
  int ans[maxn];
  int n,m;
  int w[N];
  int main(){
      ios::sync_with_stdio(false); 
      while(cin>>n){
          int sum = 0;
          for(int i=1; i<=n; i++){
              cin>>w[i];
              sum += w[i];
          }
          for(int i=0; i<=sum; i++){
              t1[i] = t2[i] = 0;
          } 
          t1[0] = t1[w[1]] = 1;
          
          for(int i=2; i<=n; i++){ //第i个多项式   枚举第i个砝码的情况 
              for(int j=0; j<=sum; j++){ //前一个中间结果    
                  //for(int k=0; k<=w[i]; k++){
                      //两个砝码放在一边
                      t2[j] += t1[j];//k=0 
                      t2[j+w[i]] += t1[j];//k=w[i]
                      
                      //两个砝码分别放在两边
                      t2[abs(j-w[i])] += t1[j];
              //	} 
              } 
              for(int j=0; j<=sum; j++){
                  t1[j] = t2[j];
                  t2[j] = 0;
              }
          }
          int cnt = 0;
  
          for(int i=1; i<=sum; i++){
              if(t1[i] == 0) ans[cnt++] = i;
          }
          cout<<cnt<<endl;
          if(cnt != 0){
              cout<<ans[0];
              for(int i=1; i<cnt; i++) cout<<" "<<ans[i];
              cout<<endl;
          }
          
      } 
      return 0;
  } 
  

HDU 2096

• 题意：有几种硬币，可以使用最多100枚硬币组成价值N，问有多少种组成方案

• 思路1：二维母函数，第一维代表价值，第二维代表用去的硬币数量，初始化t[0][0] = 1

• 思路2：用动态规划做，dp[i][j]表示组成价值i用了j枚硬币，显然这个状态可以由dp[v][j-1]再加上一枚(i-v)的硬币转移过来

  #include<iostream>
  #include<cstring>
  #include<cmath>
  using namespace std;
  const int maxn = 1e3+100;
  const int N = 110;
  int t1[maxn][105];//中间结果存放系数 
  int t2[maxn][105];//中间结果 存放 
  int n,m;
  //母函数做法
  int a[5] = {1, 5, 10, 25, 50};
  int main(){
      memset(t1 , 0, sizeof t1);
      memset(t2 , 0, sizeof t2);
      t1[0][0] = 1;//预设一个硬币0的多项式 只含有1
      for(int i=0; i<5; i++){ //处理剩下的硬币的多项式 
          for(int j=0; j<251; j++){ //中间结果 
              for(int k=0; k+j<251; k+=a[i]){ //枚举当前硬币多项式 
                  for(int l=0; l+k/a[i]<=100; l++){ //枚举之前已经用了的硬币数量  当前不能超过100 
                      t2[j+k][l+k/a[i]] += t1[j][l]; 
                  } 
              }
          }
          for(int j=0; j<251; j++){
              for(int k=0; k<=100; k++){
                  t1[j][k] = t2[j][k];
                  t2[j][k] = 0;
              }
              
          }
      }
      
      while(cin>>n){
          int ans = 0;
          for(int i=0; i<=100; i++) ans += t1[n][i];
          cout<<ans<<endl;
      }
  } 
  
  // DP做法 
  //int a[5] = {1, 5, 10, 25, 50};
  //int dp[maxn][105];
  //int main(){
  //	ios::sync_with_stdio(false); 
  //	while(cin>>n){
  //		memset(dp , 0, sizeof dp);
  //		dp[0][0] = 1;
  //		for(int i=0; i<5; i++){
  //			for(int j=1; j<=100; j++){
  //				for(int k=a[i]; k<=n; k++){
  //					dp[k][j] += dp[k-a[i]][j-1];
  //				} 
  //			}
  //		}
  //		int ans = 0;
  //		for(int i=0; i<=100; i++)  ans += dp[n][i];
  //		cout<<ans<<endl;
  //	} 
  //	return 0;
  //} 
  
  

指数型母函数

• 定义：从多重集M = {∞a1 , ∞a2, ∞a3, ... , ∞an}中选出K个元素的K-排列中，若限定元素ai出现的次数集合为Mi，则该组合数序列的母函数为：x^m/m!，m∈Mi的所有方法之和再连乘。

HDU 1521

• 题意：从n种物品中选取一共m个物品，问一共有多少种排列数？

  #include<iostream>
  #include<cstring> 
  using namespace std;
  
  typedef long long ll; 
  
  double fac[15];
  int n,m;
  int num[15];
  double t1[15],t2[15];
  void init(){
      fac[0] = 1;
      for(int i=1; i<=12; i++){
          fac[i] = fac[i-1] * i;
      }
  }
  
  int main(){
      init();
      while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF){
          for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &num[i]);
          memset(t1 , 0 , sizeof t1);
          memset(t2 , 0 , sizeof t2);
          for(int i=0; i<=num[1]; i++) t1[i] = 1/fac[i];
          for(int i=2; i<=n; i++){ //剩余n-1个多项式 
              for(int j=0; j<=m; j++){ //中间结果多项式枚举项 
                  for(int k=0; k<=num[i]&&j+k<=m; k++){ //当前多项式枚举项 
                      t2[j+k] += t1[j]/fac[k];
                  } 
              } 
              for(int j=0; j<=m; j++){
                  t1[j] = t2[j];
                  t2[j] = 0;
              }
          }
          printf("%.0f
  ",t1[m]*fac[m]);
      }
  } 
  

HDU 2065

• 题意：用ABCD四个字符组成长度为N的字符串，其中AC只能不出现或者出现偶数次，问有多少种组法

• 思路：指数型母函数加泰勒公式合并加重新展开

  #include<iostream>
  using namespace std;
  
  typedef long long ll; 
  
  ll qpow(ll a, ll n, ll mod){
      ll ans = 1;
      while(n){
          if(n & 1)
              ans = (ans * a) % mod;
          n >>= 1;
          a = (a * a) % mod ;  
      }
      return ans;
  }
  
  
  int main(){
      ll n,t;
      int cas = 1;
      while(cin >> t){
          if(t == 0) break;
          while(t--){
              cin>>n;
              ll ans = ( qpow(4 , n-1, 100LL) + qpow(2 , n-1, 100LL) ) % 100;
              cout<<"Case "<<cas++<<": "<<ans<<endl;
          }
          cas = 1;
          cout<<endl;
      }
  }