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  • 【数值分析】 -条件数性质证明 笔记

     ① 任意算子范数下的条件数均≥1

      由矩阵乘法不等式可知

      Cond(A)r  = ||A||  .  ||A-1||  ≥  ||A-1 A|| = ||E|| = 1

      故Cond(A)r ≥ 1

    正交矩阵A在“2”范数下的条件数 Cond(A)2=1

      A为正交矩阵

      PS:A为正交矩阵时 ,ATA=AAT=E  ;

      所以 AT = A-1

      可证得 CondA)2 = √(λmax ATA    /    λmin ATA   )=  √(λmax A-1A    /    λmin A-1A   )= 1

      PS:矩阵特征值 用 |A-λE| =0 求解

     /----------------------------------分割线---------------------------------/

    下面证明的正确性有待商榷 !!!

    关于证明Q是酉矩阵,A,Q都是n×n阶矩阵,cond2(QA)=cond2(AQ)=cond2(A)如下:

    已知Q为酉矩阵,则Q-1=QT  ;

    而且Q-1也是酉矩阵。

    cond2(QA)=  || (QA)-1  ||  || QA ||2

    =||  A-1Q-1  ||2    || QA ||  

    ->由于2-范数为酉不变范数->

    =||A-1 || || A ||2

    = Cond(A)2

    =cond(AQ)2,此处和cond2(QA)同理,也是转换后利用酉不变范数特性

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dabuliu/p/12685050.html
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