测试4T2 卡片游戏

问题 E: 卡片游戏

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题目描述

小D举办了元旦联欢活动，其中有一个卡片游戏。

游戏的规则是这样的：有n张卡片，每张卡片上正面写着一个小于等于100的正整数ai，反面都是一样的花色。这n张卡片正面朝下叠成一堆，玩这个游戏的人从中可以抽出连续的k（1≤k≤n）张卡片。如果对于这k张卡片上的数字的平均值a，满足l<=a<=r，那他就可以获得小礼物一件。

小W来玩这个游戏了，她事先通过某些途径知道了这n张卡片上写的数字，现在她想知道她获得小礼物的期望值。

小W对小数很头疼，所以请你用分数的形式告诉她答案。

输入

输入文件名为game.in

输入第1行，三个整数n，l，r。

第2行，包含n个整数ai。

输出

输出文件名为game.out

输出仅1行，表示小W获得小礼物的期望值。输出格式为“P/Q”（P和Q互质）。如果期望值是0或1就不用输出分数了

样例输入

game.in 4 2 3 3 1 2 4 game.out 7/10   

样例输出

【输入输出样例2】 game.in 4 1 4 3 1 2 4 game.out 1

 

这道题很考验数学功力，首先很容易想到判断条件的变形就是令sum[i]表示前i个数的前缀和

所以题目给出的条件等价于l<=(   (sum[j]-sum[i-1])/(j-(i-1))     )<=r

我们令中间那个东西为x，所以原题的方案数就是x>=l的方案数减去x>r的方案数

所以(sum[j]-sum[i-1])/(j-(i-1))>=l    <==>  sum[j]-sum[i-1]>=j*l-(i-1)*l 

所以(i-1)*l-sum[i-1]>=l*j-sum[j] 令a[i]=(i-1)*l-sum[i],求一下逆序对就行了（这里是<=不是经典的逆序对）

然后就再令b[i]=(i-1)*r-sum[i],求一下经典逆序对，答案相减就行啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 500005
using namespace std;
#define ll long long
ll a[N],b[N],n,L,R,tot,c[N];
void Merge_sort(ll l,ll r)
{
    if(l==r)
    {
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    Merge_sort(l,mid);
    Merge_sort(mid+1,r);
    ll i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(a[i]<a[j])
        {
            b[k++]=a[i++];
        }else
        {
            b[k++]=a[j++];
            tot+=mid-i+1;
        }
    }
    while(i<=mid)
    {
        b[k++]=a[i++];
    }
    while(j<=r)
    {
        b[k++]=a[j++];
    }
    for(ll i=l;i<=r;i++)
    a[i]=b[i];
}
void Merge_sort_(ll l,ll r)
{
    if(l==r)
    {
        return;
    }
    ll mid=(l+r)>>1;
    Merge_sort_(l,mid);
    Merge_sort_(mid+1,r);
    ll i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(c[i]<=c[j])
        {
            b[k++]=c[i++];
        }else
        {
            b[k++]=c[j++];
            tot+=mid-i+1;
        }
    }
    while(i<=mid)
    {
        b[k++]=c[i++];
    }
    while(j<=r)
    {
        b[k++]=c[j++];
    }
    for(ll i=l;i<=r;i++)
    c[i]=b[i];
}
ll C(ll x)
{
    return (ll)(x*(x+1)/2);
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
void print(ll a,ll b)
{
    if(a==0)
    {
        cout<<0<<endl;
        return;
    }
    if(a==b)
    {
        cout<<1<<endl;
        return;
    }
    ll c=gcd(a,b);
    cout<<a/c<<'/'<<b/c<<endl;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);  
    cin>>n>>L>>R;
    a[0]=c[0]=0;
    ll sum=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        ll t;
        cin>>t;
        sum+=t;
        a[i]=L*i-sum;
        c[i]=R*i-sum;
    }
    Merge_sort(0,n);
    ll ans=tot;
    tot=0;
    Merge_sort_(0,n);
    ans-=tot;
    print(ans,C(n));
}