稀疏表示介绍(下)

声明

1. 之前虽然听过压缩感知和稀疏表示，实际上前两天才正式着手开始了解，纯属新手，如有错误，敬请指出，共同进步。

2. 主要学习资料是 Coursera 上 Duke 大学的公开课——Image and video processing, by Pro.Guillermo Sapiro 第 9 课。

3. 由于对图像处理的了解也来自与该课程，没正经儿看过几本图像方面的书籍，有些术语只能用视频中的英文来表达，见谅哈！

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1. From Local to Global Treatment

图片尺寸有大有小，在 DCT 变换中，我们一般取 8×8 的方块作为一组 64 维的变换信号，在稀疏表示中，我们同样也不能把整张图片作为 X^T 矩阵，而是在大图片中取一定尺寸的 patch (假设是 8×8 的方块)作为一个 signal。对于图片中的所有的 patch (假设 ij 是 patch 的左上角坐标)组成的信号，已知字典 D 和噪声图片 y ，估计公式如下：

y: 带有噪音的图片—— the whole image
x: 要恢复的 clear image
Rij x: 以 i，j 为左上角坐标的 patch， Rij 是从 x 中提取 patch 的 0-1 矩阵
D： 字典 for all the overlapping patches

字典 D 从哪里学习？第一种选择是基于图片的数据库，第二种是直接使用要降噪的图片进行训练。还有一种可能性是：首先基于图片的数据库得到字典 D (off-line)，接着来了一张要降噪的图片，我们的做法是新建一个以 D 为初始化的字典，在要处理的图片上再进行迭代(on-line)，得到新字典，这个新字典更适合降噪，代价是多一些计算。

2. K-SVD Image Denoising

在上一小节中，我们提出的可能性是 D 也需要根据要降噪的图片进行再适应，所以，图片降噪的公式多了一参数：

有三个变量，处理方法是先固定其中两个，优化一个，然后迭代。从整体上来说，先用 K-SVD 算法得到字典矩阵 D 和系数编码 alpha，保持它们不动，再优化 x：

x 的最优解实际上就是所有包含 x 像素点的 patch 的平均值，比如 patch 的大小是 8×8， 那么包含图片中某一个像素点的 patch 就有 64 个，这个像素点最优解就是取这 64 个patch 对应位置的平均值。当然，你也可以用权重来调节不同位置的 patch 对 pixel 的影响，比如 pixel 在中间的 patch，权重大，pixel 在 patch 边边角角的地方，权重小。

3. Compressed Sensing

前面我们探讨了 sparse represent 的等式，这里主要讲 compressed sensing 的概念，即在稀疏表示的等号两边同时乘以矩阵 Q：

就变成了：

用公式可以表达为：

可以看到，变换后的信号被大大压缩了。在一直 x波浪 和 D波浪 的情况下求 alpha 这个问题和前面 sparse coding 非常类似。一个关键问题是：在什么条件下由已知信号 x波浪 的情况下恢复稀疏表示 alpha？显然，这个问题与矩阵 Q，字典 D 和 alpha 的 sparse level 有关，背后涉及很多数学理论。

4. Structured Sparse Models and GMM

待续...

5. Sparse Modeling and Classification-Activity Recognition

 待续...