空间平面法向量求法

一、法向量定义

     定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

二、平面法向量的求法

     1、内积法

         在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]，在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到。

     2、

         任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

     3、外积法       

设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为 两者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。

设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×=

（注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。）

 

 

public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3)
        {
            try
            {
                double a = 0, b = 0,c=0;    //方程参数
                double x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 0, y3 = 0, z1 = 0, z2 = 0, z3 = 0;      //各点坐标值
                double[] returnValue = new double[3];

                x1 = point1.X * 1000;
                y1 = point1.Y * 1000;
                z1 = point1.Z * 1000;

                x2 = point2.X * 1000;
                y2 = point2.Y * 1000;
                z2 = point2.Z * 1000;

                x3 = point3.X * 1000;
                y3 = point3.Y * 1000;
                z3 = point3.Z * 1000;

                //向量I1
                double[] I1 = new double[3];
                I1[0] = x2 - x1;
                I1[1] = y2 - y1;
                I1[2] = z2 - z1;
                //向量I2
                double[] I2 = new double[3];
                I2[0] = x3 - x1;
                I2[1] = y3 - y1;
                I2[2] = z3 - z1;

                double X1 = I1[0];
                double Y1 = I1[1];
                double Z1 = I1[2];
                double X2 = I2[0];
                double Y2 = I2[1];
                double Z2 = I2[2];

                a = Y1 * Z2 - Y2 * Z1;
                b = X2 * Z1 - X1 * Z2;
                c = X1 * Y2 - X2 * Y1;


                returnValue[0] = a;
                returnValue[1] = b;
                returnValue[2] = c;

                return returnValue;
            }
            catch (Exception e)
            {
                throw e;
            }

        }